§1、二维随机变量.ppt

* 本章内容 二维随机变量 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布 第三章 多维随机变量及其分布 * * 本章讨论多维随机变量及其概率分布问题． 实际问题中，某些随机现象的基本可能结果需用 多个数值来表示， 多维随机变量问题， 和相关的定理结论等均与上一章类似， 有某些新问题． 为简单起见，本节主要讨论二维随机变量的问题. 对于一般多维随机变量的问题讨论，可以类推． 即所谓多维随机变量的概念． 有关概念以及问题讨论方法 此外当然也会 大家应该注意其类似与新问题． 定义1 设随机试验E的样本空间 S = {e}上定义的 两个随机变量X,Y， 一、二维随机变量 * §1、二维随机变量 则称向量(X,Y)为二维随机变量 或二维随机向量． 二维随机变量 (X,Y)可以理解为： 二维实平面xOy上 一个随机游动变化 的点。 二维随机变量(X,Y)中，二随机变量X与Y 是一个有机的整体． 应该与X,Y 之间的相互联系有关． 随机变量(X,Y)，除可以各个单独地分别来研究二变量 X与Y 之外，主要还是需要整体地研究二维随机变量. 类似于上一章一维随机变量X 的讨论, (X,Y)的概率分布函数是对其统计规律的全面整体描述. 下面给出二维随机变量(X,Y)分布函数的定义． * 其属性除与各个变量X,Y 有关之外，还 因此，为研究二维 二维变量 定义2 设(X,Y)为二维随机变量，对任意实数 x,y，二元函数 称为二维随机变量(X,Y)的概率分布函数，或称为 随机变量X与Y的联合分布函数． 二、二维随机变量分布函数及其性质 * 几何图形示意： 分布函数F(x,y)在点(x,y) 处的函数值F(x,y)就是事件： “随机点(X,Y) 落在以点(x,y) 为右上顶点的左下方角部无限 矩形区域内”的概率． 分布函数的基本性质： 1、分布函数关于x,y都是单调不减的，即对任意 的 和 2、分布函数关于x,y在任意点都是右连续的，即 和 3、 有 * 并且 F (+∞,+∞) = 1； 随机向量落在 矩形区域内 的概率 思考问题： 以及 等． 类似一维随机变量一样，二维 随机变量(X,Y)分布函数的其他性质 与结论．例如， 对任意的 等． 下面分别讨论二维离散型与连续型随机变量． 则有 * 三、二维离散型随机变量 1、概念 类似于一维离散型随机变量， (X,Y)所有可能值是有限个或可列无限个点， 为二维离散型随机变量． 2、分布律 定义3 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能值 为 为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布律， 随机变量X与Y的联合概率分布律． * 若二维随机变量 则称其 则称其所对应的概率 或称为 二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布律： 可用表格表示为： X * Y 分布律满足: ? ? [概率的非负性] [概率的规范性] * 这样一来，随机变量取值落在某个平面区域G上 的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。 例 将一枚硬币连抛三次，以X表示在“三次抛掷 出现正面的次数”， 次数差的绝对值”， 〖解〗 X的可能值为0,1,2,3；Y的可能值为1,3． 基本事件总数为8． P{X=0,Y=1}=P(φ)=0; P{X=0,Y=3}=1/8; [TTT] P{X=1,Y=1}=3/8; [HTT,THT,TTH] P{X=1,Y=3}=P(φ)=0; P{X=2,Y=1}=3/8; [HHT,HTH,THH] P{X=2,Y=3}=P(φ)=0; P{X=3,Y=1}=P(φ)=0; P{X=3,Y=3}=1/8. [HHH] 古典 概型 * Y表示“三次抛掷出现正、反面 求X与Y的联合分布律． X与Y的联合分布律为 X与Y的联合分布律为： * ■ 四、二维连续型随机变量 1、概念 类似于一维连续型随机变量， 变量(X,Y)所有可能值 定义4 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y), 则称(X,Y)为二维连续型随机变量， * 连续型二维随机 充满平面上某个区域． 若存在非负函数 f (x, y) , 使得对任意的 x,y 值，有 其中函数 f (x, y