[补充]惯量张量 理论力学.ppt

惯量张量推导与推广 附：张量基础 点击文字选择观看 一些符号与约定 关于 符号 符号 定义为 符号 定义为 符号的基本性质 符号的基本性质 求和约定 求和约定 求和记号被约定省略了 n为哑指标可被换为任何字母 此为爱因斯坦的贡献 基础张量 张量的定性定义 一个向量是由直角坐标系中的三个分量所确定的而三个分量都是数量 由此可见向量是由三个数量所确定的. 在现实世界中，有的物理量需要大于三个的数量才能确定 从而提出张量的概念. 张量有零阶张量（表量），一阶张量（矢量），二阶张量等等 基础张量 给定曲线坐标 有： 直接取为坐标基矢，现设有连续可微的单值函数 基础张量 它的反函数： 也是连续可微的单值函数，得： 基础张量 得下面曲线坐标局部标架基矢之间的变换法则 这两式非常重要，为张量的核心 通过以上的铺垫现在可以给出张量的定量定义 基础张量 定义 在曲线坐标 中，在空间任一点M 给出一组数： 如果当曲线坐标变换时，它变为 则称这一组数为在M点的一个n阶协变、m阶逆变的张量 度规张量 张量的度规 都为求和指标 共为9项 同理 都是二阶度规张量 张量的商法则 若已知： 为张量 为任意张量 且存在 可得 也为一张量 关于A×B×C的证明 用张量的方法证明 选择并点击文字 证明 一物体A 对O点的动量矩为 (1) 为微元体积 为任一点的失径（ 点） 为速度 为密度函数 为物体 为角速度 证明 为一个矢量 矢量 矢量 A为一刚体 可得 (2) 证明 由（1）（2）式可 得： 证明 现用张量的方法 把 在 上分解 得： 又 证明 代入得 证明 分析此式 在刚体中 A中任意一点的角速度 都相同 既 可为任意矢量 证明 为任意矢量 为一矢量 根据张量的商法则 定为张量且为二阶张量 定义 结论 则 为二阶张量 为张量方程 惯量张量的推广 张量方程在任何坐标系中同性 既 如果在笛卡儿坐标系中成立 则 在任何坐标系中都成立 这样惯性张量在非欧空间（宇宙）中同样适用 在笛卡儿坐标下验证结果 在笛卡儿坐标下： 当 代入可得 在笛卡儿坐标下验证结果 同理可得： 结论 与教材上惯性张量在笛卡儿坐标的分量相同 可得出 在任何坐标系下都成立 既在非欧空间（宇宙）中成立 显示了张量方程的优越性 给出了在解决非欧空间中转动惯量问题时可以使用惯量张量方法的原因 张量的优越性 在浩瀚的宇宙中，空间再也不是欧式空间，因而许多定理方法在弯曲的时空下无能为力 在由欧式空间转化为非欧空间过程中，张量的性质保持不变，张量的优越显露无疑 在研究非欧空间物体的转动惯量时，惯量张量可以原分不动地直接使用 附言 参考书目 杨维纮 《力学》 中国科学技术大学 吕盘明 《张量算法简明教程 》　中国科学技术大学 论文中的教材指杨维纮教授的《力学》 * *