第九讲--求代数方程的近似根(解)说课.pptVIP

数学实验 求代数方程的近似根(解) 问题背景和实验目的 相关概念 对分法 对分法 对分法收敛性 迭代法 迭代法的收敛性 迭代法收敛性判断 迭代法收敛性判断 迭代法收敛性判断 迭代法的加速 松弛迭代法 Altken 迭代法 Altken 迭代法 牛顿迭代法 牛顿法迭代公式 牛顿法迭代公式 Matlab 多项式运算 Matlab 中多项式的表示方法 多项式四则运算 多项式加减运算 多项式四则运算 多项式乘法运算： 多项式的求导 多项式的值 多项式的值 多项式的零点 多项式运算小结 线性方程组求解 非线性方程的根 非线性方程的根 例： Matlab 符号方程求解器 Matlab 符号方程求解器 一般非线性方程数值解 fzero(sin(x),10) fzero(@sin,10) fzero(x^3-3*x+1,1) fzero(x^3-3*x+1,[1,2]) fzero(x^3-3*x+1=0,1) X fzero(x^3-3*x+1,[-2,0]) f=inline(x^3-3*x+1); fzero(f,[-2,0]) 注意：fzero只能求解单变量的方程，没法求解复数、多变量以及方程组等。 在有哪些信誉好的足球投注网站过程中出现inf,nan,复数将会终止计算，就是不能求解复数解，并且每次子返回一个解? s=solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解； s=solve(f)：求方程关于默认自变量的解。 f 可以是用字符串表示的方程，或符号表达式； 若 f 中不含等号，则表示解方程 f=0。 solve 例：解方程 x^3-3*x+1=0 syms x; f=x^3-3*x+1; s=solve(f,x) s=solve(x^3-3*x+1,x) s=solve(x^3-3*x+1=0,x) solve 也可以用来解方程组 solve( f1 , f2 , ... , fN , v1 , v2 , ... , vN) 求解由 f1 , f2 , ... , fN 确定的方程组关于 v1 , v2 , ... , vN 的解 例：解方程组 [x,y,z]=solve(x+2*y-z=27,x+z=3, ... x^2+3*y^2=28,x,y,z) 输出变量的顺序要书写正确！ 例：解方程组 关于y,z的解 [y,z]=solve(u*y^2+v*z+w=0,y+z+w=0,y,z ) S=solve(u*y^2+v*z+w=0,y+z+w=0,y,z ) disp(S.y),disp(S.y),disp(S.z),disp(S.z) * * 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要。 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对分法，迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。 如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程；否则称之为非线性方程。 线性方程 与 非线性方程 基本思想 将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。 适用范围 求有根区间内的 单根 或 奇重实根。 数学原理：介值定理 设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)0，则由介值定理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 ? 使得 f(?)=0。 具体步骤 设方程在区间 [a,b] 内连续，且 f(a)f(b)0，给定精度要求 ? ，若有 |f(x)|? ，则 x 就是我们所需要的 f(x) 在区间 (a,b) 内的 近似根。 ... ... 收敛性分析 设方程的根为 x* ? (ak , bk ) ，又 ，所以 0(k ?) 对分法总是收敛的 但对分法的收敛速度较慢 通常用来试探实根的分布区间， 或给出根的一个较为粗糙的近似。 根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列 {[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。 基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程： 从某个近似根 x0 出发，计算 得到一个迭代序列 k = 0, 1, 2, ... ... ? (x) 的不动点 f (x) = 0 x = ? (x) 等价变换 f (x) 的零点 若 收敛，即 ，假设