第二章非线性方程数值解-du说课.pptVIP

第二章 非线性方程的解法 第二章 非线性方程的解法/* Solutions of Nonlinear Equations */ 主讲教师：杜 睿 rdu@seu.edu.cn 2.0 预备知识 定义 若有x* 满足 ?(x*)=0 ， 则称x*为方程的根或函数f(x)的零点. 如果函数f(x)可分解为 f(x) =(x ? x*)mg(x) 且 g(x* )?0, 则称x*是f(x)的m重零点或f(x) =0的m重根。当m=1时，称x*是f(x)=0的单根 或函数f(x)单零点。 求根步骤 （1）根的有哪些信誉好的足球投注网站 图解法、近似方程法、 解析法、定步长有哪些信誉好的足球投注网站法 （2）根的精确化 2.1 二分法 a b x1 x2 a b 什么时候停止？ 或 x* 2.2 简单迭代法 1. 迭代格式的构造； f (x) = 0 等价变换 思路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = φ(x0), x2 = φ(x1), …, xk+1 = φ(xk), … 若 收敛，即存在 x* 使得 ，且φ连续，则由 可知 x* = φ(x* )，即x* 是f (x)的根。 数值分析 x* x y y = x y=φ(x) x0 p0 x1 ? x* x y y = x y=φ(x) x0 p0 x1 ? p1 2. 迭代法的收敛性： C ： k 0 1 2 3 4 xk 1.25 1.38013 1.36334 1.36547 1.36512 x*=1.365 2.2 简单迭代法 1. 迭代格式的构造； 2. 迭代法的收敛性： 全局收敛； 局部收敛； 局部收敛性 2.2 简单迭代法 1. 迭代格式的构造； 2. 迭代法的收敛性： 全局收敛； 局部收敛； 3. 收敛速度； 收敛速度 2.2 简单迭代法 1. 迭代格式的构造； 2. 迭代法的收敛性： 全局收敛； 局部收敛； 3. 收敛速度； 2.3 Newton法 1. Newton迭代格式； 几何意义 x y x* xk 2.3 Newton法 1. Newton迭代格式； 2. 局部收敛性； Newton迭代法对单根至少是2阶局部收敛， 对重根是1阶局部收敛。 k x1k 0 5.000000 4.682017 4.572805 4.560161 4.560000 k x2k 0 2.000000 1.8444420 …….. 1.560274 1.560183 单根收敛快 重根收敛慢！ 求重根的修正 Newton法！ k x2k 0 2.000000 1.533260 1.559921 1.560000 2.3 Newton法 1. Newton迭代格式； 2. 局部收敛性：Newton迭代法对单根至少是2阶局部收敛，对重根是1阶局部收敛。 3. 求重根的修正Newton法 4. 大范围收敛 Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 大范围收敛定理 Th2.6 设函数f(x)在区间[a,b]内存在2阶连续导数，且满足： 则对任意的初值x0∈[a,b]，由Newton迭代格式产生的收敛序列 2阶收敛到方程f(x)=0在内的唯一根x*。 k 0 1 2 3 4 5 xk π 2.09440 1.91322 1.89567 1.89549 1.89549 2.3 Newton法 1. Newton迭代格式； 2. 局部收敛性：Newton迭代法对单根至少是2阶局部收敛，对重根是1阶局部收敛。 3. 求重根的修正Newton法（重数已知；重数未知）； 4. 大范围收敛； 5. Newton法的变形 (1) Newton下山法； (2) 差商代替导数。 （1）割线法 将Newton迭代中的导数，用差商代替，有格式 x0 x1 切线 割线