函数的零点与方程的根探索.ppt

一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离 数形结合百般好，隔离分家万事休， 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？ §3.1.1方程的根与 函数的零点 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？ 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？ 数形结合百般好，隔离分家万事休， 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离 一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步 数缺形时少直观，形少数时难入微， 数形结合百般好，隔离分家万事休， 数缺形时少直观，形少数时难入微， 数缺形时少直观，形少数时难入微， 今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但在数学发展史上，方程的求解却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家在约公元50年—100年编成的《九章算术》，给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法… 花拉子米(约780～约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。 阿贝尔(1802～1829)挪威数学家. 证明了五次以上一般方程没有求 根公式。 卡尔达诺，意大利数学家，他第一个 发表了三次代数方程一般解法的卡尔 达诺公式，也称卡当公式（解法的思 路来自塔塔利亚，两人因此结怨，争 论多年）。他的学生费拉里第一个求 出四次方程的代数解。 韦达是法国十六世纪最有影响的数学 家之一。第一个引进系统的代数符号， 并对方程论做了改进。韦达讨论了方 程根的各种有理变换，发现了方程根 与系数之间的关系即“韦达定理” 。 思考 方程的根和函数的图像又有着什么样的关系呢？ 数缺形时少直观，形少数时难入微. 方程 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 函数 函 数 的 图 象 方程的实数根 x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 函数的图象 与x轴的交点 (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 x2－2x－3=0 x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . . . . . . . x y 0 －1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 －1 2 1 1 2 y= x2－2x+3 问题探究1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标 方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根 函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象 判别式△ = b2－4ac △＞0 △=0 △＜0 函数的图象 与 x 轴的交点 有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根 x y x1 x2 0 x y 0 x1 x y 0 (x1,0) , (x2,0) (x1,0) 没有交点 两个不相等 的实数根x1 、x2 问题: 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？ 1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。 结论 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 函数零点的定义： 注意：零点指的是一个实数 零点是一个点吗? 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点. 等价关系 求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 例1：求函数 的零点。 练习1.求下列函数的零点： （1） ;（2） . 练习2.已知函数 的定义域为R的奇函数，且 在 有一个零点，则 的零点个数为_____ 课堂练习1 思考： 方程 是否有实根？ 有几个实根？ 该如何解决呢? 问题探究2 观察函数的图象 ①在区间(a,b)上______(有/无)零点； f(a).f(b)_____0（＜或＞）． ② 在区间(b,c)上______(有/无)零点； f(b).f(c) _____ 0（＜或＞）． ③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点； f(c).f(d) _____ 0（＜或＞）． 函数零点存在性原理 有 有 无 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,