第七章 概率论参数估计.pptVIP

90 90 记 ,试选择实数 ,使 为?的无偏估计, 并 使 的方差达到最小. 例4 设总体 的分布函数为 , 其中 为未知参数, 是总体的样本, 解 ：记 , 令 所以, 当 时, 为 ? 的无偏估计.又 做辅助函数 将前个等式相加, 解之得 所以,当 时, 此时 最小. 则 是?的相合估计量或一致估计量. .(P139) 设 是是待估参数?的估计量 . 若对任意的 ,有 定义3 相合估计量 是指随着样本容量的增大, 依概率收敛到未知参数?. 三、相合性 例5 设总体的均值 , 求证: 是 的相合估计量. 例6 设 是来自 的样本， 为未知参数,求证： 为?的相合估计量. 证： 的概率密度 即 所以， 为?的相合估计量. 设总体 的分布函数 含有一个未知参数?, 对于给定值 ，若由总体的样本 确定的两个统计量 和 , 满足 §3 区间估计 定义1 则称随机区间 是?的置信水平(或置信度)为 的置信区间， 和 分别称为?的置信水平为 的置信下限和置信上限. (P140) 一、单个正态总体参数的区间估计 (1)方差已知时, 正态总体均值的区间估计 设 是正态总体 的样本,其中 已知,给定 , 求均值 的置信区间. 由于 ，根据 分位点的定义, 有 所以,均值 的置信水平为 置信区间为 可以证明在置信水平 条件下, 上式给出的均值 的置信区间, 在形如 的置信区间中长度最短. 第一步, 根据实际问题构造样本的函数 第三步, 由不等式 解得等价不等式 , 则随机区间 就是所求的置信区间. 第二步, 对于给定的置信水平 , 确定两个常数a和b,使 ,相应的区间按照概率对称. 未知参数的置信区间的解题步骤如下： 它仅包含待估参数?, 而不包含其它未知参数.它的分布已知且不依赖于任何未知参数. 例1 已知某大学三年级学生的身高服从正态分布 , 现从该大学三年级学生中抽查10人, 测得身高分别为162,176,163,165,168,172,170,167,175,178.求总体均值 的置信水平为0.95的置信区间. 解： 这是方差已知时, 求正态总体均值的置信区间问题.所对应的置信区间为 这里 由样本观察值算得 所以置信区间是 (2)方差未知时, 正态总体均值的区间估计 设 是正态总体 的样本,其中 未知,给定 , 求均值 的置信区间. 由于 ，根据 t分布分位点的定义, 有 均值的置信区间为 例２ 设某种袋装食品的重量服从正态分布　　　　，从某一批此种食品中抽取6袋, 测得重量(单位:g)如下:205, 207, 189, 193, 196, 198.求此种袋装食品的重量　　的置信水平为0.95的置信区间. 解： 这是方差未知时, 求正态总体均值的置信区间问题.所对应的置信区间为 这里 由样本观察值算得 所以置信区间是 (３)正态总体方差与标准差的区间估计 设 是正态总体 的样本,其中