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?第一讲 数的整除 一、内容提要： 内容提要： 如果整数 A 除以整数 B(B≠0)所得的商 A/B 是整数,那么叫做 A 被 B 整除. 0 能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征 除 数 2或5 4 或 25 8 或 125 3或9 11 7,11,13 能被整除的数的特征 末位数能被 2 或 5 整除 末两位数能被 4 或 25 整除 末三位数能被 8 或 125 整除 各位上的数字和被 3 或 9 整除(如 771，54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被 11 整除 (如 143,1859,1287,908270 等) 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减, 其差能被 7 或 11 或 13 整除.(如 1001，22743，17567，21281 等) 能被 7 整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的 2 倍 ③其差能被 7 整除。 如 1001 100－2＝98（能被 7 整除） 又如 7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被 7 整除） 能被 11 整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被 11 整除 如 1001 100－1＝99（能 11 整除） 又如 10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能 11 整除） 二、例题 例 1 已知两个三位数 328 和 2x9 的和仍是三位数 5y 7 且能被 9 整除。 求 x,y 解：x,y 都是 0 到 9 的整数，∵ 5y 7 能被 9 整除，∴y=6. ∵328＋?2x9 ＝567，∴x=3 例 2 已知五位数 1234 x 能被 12 整除，求 x 解：∵五位数能被 12 整除，必然同时能被 3 和 4 整除， 当 1＋2＋3＋4＋?x 能被 3 整除时，x=2，5，8 当末两位 4 x 能被 4 整除时， x ＝0，4，8 第 1 页 （共 65 页） ∴ x ＝8 例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是 10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被 11 整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为 30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是 10263。 练习一 练习一 1、分解质因数： （写成质因数为底的幂的连乘积） ①756 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2、若四位数 987 a 能被 3 整除，那么 a=_______________ 3、若五位数 12 x34 能被 11 整除，那么 x ＝__________ 4、当 m=_________时， 35m5 能被 25 整除 5、当 n=__________时， 9610n 能被 7 整除 6、能被 11 整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、 能被 4 整除的最大四位数是____________， 能被 8 整除的最大四位数是_________。 8、8 个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号） ： 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从 1 到 100 这 100 个自然数中，能同时被 2 和 3 整除的共_____个，能被 3 整除 但不是 5 的倍数的共______个。 10、由 1，2，3，4，5 这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被 3 整除的数共有几个？为什么？ 第 2 页 （共 65 页） 11、已知五位数 1234A 能被 15 整除，试求 A 的值。 12、求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13、在十进制中，各位数码是 0 或 1，并能被 225 整除的最小正整数是______（1989 年全国初中联赛题） 第二讲 倍数 约数 一、内容提要 1、两个整数 A 和 B（B≠0） ，如果 B 能整除 A（记作 B｜A） ，那么 A 叫做 B 的倍数，B 叫做 A 的约数。例如 3｜15，15 是 3 的倍数，3 是 15 的约数。 2、因为 0 除以非 0 的任何数都得 0，所以 0 被非 0 整数整除。0 是任何非 0 整 第 3 页 （共 65 页） 数的倍数，非 0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数，7 是 0 的约数。 3、整数 A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A， ±2A，……都是 A 的倍数，例如 5 的倍数有±5，±10，……。 4、整数 A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的