线段的垂直平分线和角平分线的复习(适合各种版本)要点.ppt

垂直平分线 ----点向两端连线段 * * * * 线段垂直平分线与角平分线复习 A C B 如图,在一个三角形的小岛上，小动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边的路线，分别跑到小岛三边.为公平起见，要求起点到小岛三边的距离相等，你能帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的距离相等呢？ 线段垂直平分线与角平分线复习 线段垂直平分线 角平分线 判定 尺规作图 定义 性质 三角形三边垂直平分线和角平分线的性质 线段垂直平分线与角平分线复习 逆定理 性质定理 文字语言： 文字语言： 线段垂直平分线上 的点到这条线段两 个端点距离相等. 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. A C B P M N 符号语言： 符号语言： ∵MN⊥AB,AC=BC, P是MN上任意一点 ∴PA=PB ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 证明两条线段相等的根据之一. 温馨提示: 证明点在直线上(或直线 经过某一点)的根据之一. 线段垂直平分线与角平分线复习 线段的垂直平分线 A B C P a b c 三角形三条边的 垂直平分线相交于一 点,并且这一点到三个 顶点的距离相等。 如图,在△ABC中, ∵直线c,a,b分别是AB, BC,AC的垂直平分线 ∴直线c,a,b相交于一点P, 且PA=PB=PC 三条边的垂直平分线的性质定理 文字语言： 符号语言： 线段的垂直平分线 三角形 性质定理 逆定理 证明线段相等 线段垂直平分线与角平分线复习 逆定理 性质定理 文字语言： 文字语言： 角的平分线上的 点到角的两边的 距离相等. 符号语言： 符号语言： 证明两条线段相等的根据之一. 证明一个点是否在角平分线上， 从而推出两个角相等. 线段垂直平分线与角平分线复习 B A D O P E 在一个角的内部，且到角的 两边距离相等的点，在这个 角的平分线上. ∵ PD=PE PD⊥OA , PE⊥OB ∴点P 在∠AOB 的平分线上 角平分线 温馨提示: ∵ OP 是∠AOB 的平分线 PD⊥OA , PE⊥OB ∴PD=PE 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 三个内角平分线的性质定理 文字语言： 符号语言： 角平分线 三角形 性质定理 逆定理 证明线段相等 A B C B N D F M E P 线段垂直平分线与角平分线复习 ∵△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，PD⊥AB, PE⊥BC, PF⊥AC，垂足分别是E、D、F . ∴PD=PE=PF 【例1】：如图，在△ABC中， BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点F, AC的垂直平分线交BC边于点H.求△AFH的周长。 在△ABC中， △AFH的周长为12,AB的垂直平分线交BC边于点F, AC的垂直平分线交BC边于点H.求BC长为_______。 在△ABC中， AB的垂直平分线交BC边于点F, AC的垂直平分线交BC边于点H.若∠B=35°， ∠C=25°,则∠FAH=___________. 1 2 12 60° 线段垂直平分线与角平分线复习 例题赏析 如图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC边于点F.求证：CF=2BF 30° 30° 30° 线段垂直平分线与角平分线复习 例题赏析 【例2】已知:如图, 点P是∠AOB内部的一点, （2）你能添加一个条件，使点P在∠AOB的平分线上吗？ （1）若OP平分∠AOB，你能得出什么结论？ B A C O P D 2 1 C D 若PC=PD，∠1+∠2=1800. 那么点P在∠AOB的平分线上吗？ M N PC⊥OA, PD⊥OB ，垂足分别为点C和点D. 答：点P在∠AOB的平分线上. 理由：过点P作PM⊥OA,PN⊥OB.垂足分别为点M和点N. ∵∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180° ∴ ∠1 =∠3 又∵ ∠PMC= ∠PND=90°，PC=PD ∴△PMC≌△PND（AAS） ∴PM=PN 又 ∵ PM⊥OA,PN⊥OB ∴ 点P在∠AOB的平分线上. 线段垂直平分线与角平分线复习 例题赏析 3 【例3】 已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F