DA2008年高考数学（湖南卷）（理工农医类）.docVIP

2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）参考答案 一、选择题： 1．D 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．B 9．C 10．D 二、填空题： 11． 12． 13． 14．； 15．； 三、解答题： 16．解：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且 ． （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是 ． （Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3． ＝ ＝． = =． ． ． 所以，的分布列是 P 的期望． 17．解：解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE．而AB=A，因此BE⊥平面PAB． 又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB． （Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF．过点A作AH⊥PB于H， 由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE． 在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以， AF=2AB=2=AP． 在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG． 则AG⊥PF．连结HG，由三垂线定理的逆定理得， PF⊥HG． 所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）． 在等腰Rt△PAF中， 在Rt△PAB中， 所以，在Rt△AHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 解法二 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系． 则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0）， ，P（0，0，2），． （Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是， 所以和共线．从而BE⊥平面PAB． 又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB． (Ⅱ)易知， 设是平面的一个法向量， 则由得所以．故可得． 设是平面的一个法向量， 则由 得所以． 故可取． 于是，． 故平面和平面所成二面角（锐角）的大小是． 18．解： (Ⅰ)因为，所以， 一般地，当时， ＝，即． 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此． 当时，． 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此． 故数列的通项公式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，， ， ………………① ………………② ①-②得，． ． 所以． 要证明当时，成立，只需证明当时，成立． 证法一 （1）当时，成立． （2）假设当时不等式成立，即． 则当n=k+1时，． 由（1）、（2）所述，当时，，即当时，． 证法二 令，则． 所以当时，．因此当时，． 于是当时，． 综上所述，当时，． 19．解：（I）如图，AB=40，AC=10，． 由于，所以cos=． 由余弦定理得BC=． 所以船的行驶速度为（海里/小时）． （II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B，C的坐标分别是B（x1，y1）， C（x2，y2），BC与x轴的交点为D． 由题设有，， ACcos， ． 所以过点B、C的直线l的斜率k=，直线l的方程为y=2x-40． 又点E（0，-55）到直线l的距离． 所以船会进入警戒水域． 解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．在△ABC中，由余弦定理得， ==． 从而． 在中，由正弦定理得， ． 由于AE=5540=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15． 过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离． 在中， =． 所以船会进入警戒水域． 20．解：（I）设AB为点的任意一条“相关弦”，且点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）（x1x2），则，，， 两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）．因为x1x2，所以y1+y20． 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm， ym），则 ． 从而AB的垂直平分线l的方程为 ． 又点在直线上，所以． 而，于是． 故点的所有“相关弦”的中点的横坐标都是． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦所在直线的方程是，代入中， 整理得． （*） 则是方程（*）的两个实根，且． 设点的“相关弦”AB的弦长为l，则 ． 因为，于是设，则． 记． 若，则，所以当，即时， l有最大值． 若，则，在区间上是减函数，所以 ，l不存在最大值． 综上所述，当时，点的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为；当