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1965年试题 1． 右面的二视图所表示的立体是什么图形?求出它的体积 ． [Key] 1.解：右面的二视图所表示的立体是正六棱锥. 设这个六个棱锥的高是h，底面积是A，体积是V，则有 注：本题考二视图和计算棱锥的体积. 余弦对数表 2．在A处的甲船测得乙船在北偏西的B处以速度22/小时向正北方向行驶．甲船立即从A处出发，以速度26/小时向北偏西a度的方向沿直线驶去，追赶乙船．问a是多大角度时，经过一段时间，甲船能够在某处C恰好与乙船相遇?(lg2.2=0.3424，lg2.6=0.4150;lg是以10为底的对数符号.) 余弦对数表 [Key] 2.解：设甲船与乙船相遇所需要的时间为t，则有 BC=22t，AC=26t. 由正弦定理，得 对上式两边取对数，得 lgsin( 49°48′-a ) =lg22-lg26+lgsin =1.3424-1.4150＋ = 查表得到 -a=. 。 注：本题考解任意三角形的基本方法，并考查学生查表和运用对数计算的能力. 3.把地球看作半径为R的球.设A、B两地的纬度相同，都是a度，它们的经度相差β度(0°β≤180°).求A、B两地之间的球面距离（即大圆弧长）. [Key] 3.解法一： 设A、B两地之间的球面距离为x，大圆弧所对的圆心角为θ度，则 (1) 设纬度为a的纬度圈的圆心为P，半径为r，则∠APB=β.因为△PAB是等腰三角形，所以A、B之间的直线距离 又在直角三角形OAP中，∠OAP=a，可知 r=Rcosa. 又在等腰三角形OAB中，可以求得 代入(1)，得 答：A、B两地之间的球面距离为 解法二： 设A、B两地之间的球面距离为x，大圆弧所对的圆心角为θ度，则 设纬度为a的纬度圈的圆心为P，半径为r，则∠APB=β.在△PAB中，根据余弦定理得A、B之间的直线距离的平方 AB2=2r2-2r2cosβ=2r2 (1-cosβ). 又在直角三角形OAP中，∠OAP=a可知 r=Rcosa. 所以 AB2=2R2cos2a(1-cosβ). 又在△OAB中，根据余弦定理，得 AB2=2R2 (1-cosθ). 所以2R2cos2a(1-cosβ)=2R2 (1-cosθ). 由此，cosθ=1-cos2a(1-cosβ)， 即θ=arccos[1-cos2a(1-cosβ)]. 代入(1)，得 答：A、B两地之间的球面距离为 注：本题考运用几何与三角的基本知识，计算球面距离. 4.(1)证明│sin2x│≤2│sinx│.（x为任意值） (2)已知n为任意正整数，用数学归纳法证明 │sinnx│≤n│sinx│.（x为任意值） [Key] 4.解：(1)│sin2x│=│2sinxcosx│ =2│sinx│·│cosx│ ≤2│sinx│.(∵│cosx│≤1) (2)当n=1时，│sinx│=│sinx│，不等式成立. 设当n=k时不等式成立，今证明当n=k＋1时，不等式也成立.因为 sin(k＋1)x=sinkxcosx＋coskxsinx， 所以根据绝对值不等式的性质，得到 │sin(k＋1)x│≤│sinkx│·│cosx│＋│coskx│·│sinx│. 又根据归纳法的假设和│cosx│≤1及│coskx│≤1，得到 │sin(k＋1)x│≤k│sinx│＋│sinx│=(k＋1)│sinx│. 因此，不等式对一切正整数n都成立. 注：本题主要考数学归纳法和绝对值不等式.第一小题的目的是启发学生应用│cosx│≤1来证明不等式. 5.已知一点P的坐标是(4，-2)，直线l的方程是y-x+5=0，曲线C的方程是 此题的略图. [Key] 5.解：直线l的方程也可以写成 y = x－5， 所以l的斜率是1，与l垂直的直线的斜率应为-1. 因此，经过P点而与直线l垂直的直线l的方程是 y＋2=-(x-4)， 即 x＋y -2=0. 要求l与C的交点坐标，只须解下列方程组 由(1)式解得 y=-x＋2，(3) 代入(2)式并化简，得到 3x2＋2x-1=0， 或 (3x-1)(x＋1)=0. 代入(3)式，得到 略图如下： 注1：本题主要考直线的斜率、直线的方程以及直线与二次曲线的交点等最基本的解析几何知识. 注2：画出的略图应包括所给的以及所求出的点、直线和曲线的图形. 6.当p是什么实数时，方程x2+px-3=0与方程x2-