第五节条件概率要点.pptVIP

概率论与数理统计 主讲：秦茂玲 手机Email：ml.qin@163.com 一、条件概率 二、关于条件概率的三个定理： 乘法定理全概率公式与贝叶斯公式 三、小结 第五节　条件概率 第五节 条件概率 一、条件概率的定义  直观上，用来表示在事件A发生的条件下，事件B发生的可能性大小的数，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。记为P(B|A). 例 设有100件的某一批产品，其中有5件不合格品，而5件产品中又有了3件是次品，2件是废品。现任意在100件产品中抽取一件，求  1）抽得的是废品的概率； 2）已知抽得的是不合格品,它是废品的概率。 解：令B表示“抽得的是废品”这一事件，A表示“抽得的是不合格品”这一事件按古典概率计算易得： 由此看到P（B）≠ P（B|A） 本例中条件概率P（B|A）是根据条件概率的直观意义计算出来的，但一般地，条件概率如何定义呢？? 通过简单的运算得： 上述关系具有普遍意义： (1) 从古典概率看： (2) 从频率的稳定性上看：设实验E做了n次，令：nA,nB,nAB分别表示事件A,B及A?B在n次试验中发生的次数，那么nAB/nA表示在A发生的那些结果中，B又出现的频率，即：已知A发生的条件下，B发生的条件频率fn(B|A)。 如果n足够大， fn(AB)接近P(AB),fn(A)接近P(A),则nAB/nA接近P(B|A),因此，在统计概率中上式亦成立。 1．定义: 设，A，B是两事件，且P(A)0，称 为在事件A发生的条件下事件A发生的条件概率. 注 （1）若P(B)0，同样可定义 （2）条件概率P（?|A）满足概率定义的三条公理，即 1. 对于每一事件B，有P（B/A）≥0; 2. P（?|A）=13. 设B1，B2……两两不相容，则有 P（Φ|A）=0 P（B|A）=1?P（?B|A） P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)?P(B1B2|A)等等 概率所证明的重要结果都适用于条件概率，例如： (3) P（B）与条件概率P（B|A）的关系： P(B)P(B|A)， P(B)P(B|A), P(B)=P(B|A)这三种关系都有可能成立。后一种情况就是以后讨论的独立性。 2．计算 一般有两种方法： (1)由条件概率定义：P(B|A)=P(AB)/P(A) （在原样本空间中求P(AB)、P(A)） (2)按古典概型公式： P(B|A)=NAB/NA  （在压缩后的样本空间中考虑） 例1：100件产品，其中5件不合格品，5件不合格品中又有3件是次品，2件废品。在100件中任意抽一件。求（1）抽得是废品B的概率; （2）已知抽得的是不合格品A，它是废品  的概率P(B|A)。 例2 一次掷10颗色子，已知至少出现了一个1点，求至少出现两个1点的概率。 解 设A:掷10颗色子，至少出现一个1点， B:掷10颗色子，至少出现两个1点， C:掷10颗色子，恰出现一个1点。 则：B=A-C,且A?B,A?C. 由古典概型： 又 P(B)=P(A)-P(C),于是所求概率为 1.乘法公式 由条件概率定义，若P(B)0，则P(AB)=P(A|B)P(B) 若P(A)0,则P(AB)=P(B|A)P(A) 上述公式可推广到任意有穷多个事件时的情形，例如，设A，B，C为事件，且P(AB)0，则 P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB)  这里，注意到由假设P(AB)0可推得P(A)≥P(AB)0. 一般，设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2,且P(A1A2…An-1)0，则有: P(A1A2…An )= P(A1)?P(A2|A1)… ?P(An-1|A1A2…An-2)?P(An|A1A2…An-1) 二、关于条件概率的三个定理 例1.盒中5个白球，2个黑球，连续不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。 解：设Ai表示第 i 次取到黑球 在利用条件概率求无条件P时，条件P往往用古典概型计算。 例2. 设某同学眼镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10，试求透镜落下三次而未打破的概率。 解：Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”， 以B表示事件“透镜落下三次而未打破”。因为B=ā1ā2ā3 ，故有 P(B)=P(ā1ā2ā3)= P(ā1)P(ā2|ā1)P(ā3|ā1ā2)  = (