第五节定积分要点.ppt

第五节 定积分 一、引例 二、定积分的定义 三、存在定理 五、定积分的性质 四、定积分的几何意义 实例1 （求曲边梯形的面积） 一、引例 曲边梯形 由连续曲线 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 曲边梯形如图所示， 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值 二、定积分的定义 定义 若干个分点 各小区间的长度依次为 在各小区间上任取 如果 怎样的分法， 我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间 [a,b] 上的定积分 . 记为 我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间 [a,b] 上的定积分. 记为 积分上限 积分下限 积分和 积分号 注意 (1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关. (3) 当函数 f(x)在区间 [a,b] 上的定积分存在时, 称 f(x)在区间 [a,b] 上(黎曼)可积 . 定理1 三、存在定理 若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续 ,则 f(x) 在区间 [a,b] 上可积 .（证明参考数学分析） 定理2 若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有界 ,且只有有限个第一类间断点，则 f(x) 在 [a,b] 上可积 . 定理1和定理2均为函数 f(x) 可积的充分条件. 可积的必要条件:可积函数在积分区间上必有界 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 四、定积分的几何意义 几何意义： 例1 利用定义计算定积分 解 例2 利用定义计算定积分 解 例3 利用定积分表示下列极限 解 证明 利用对数的性质得 极限运算与对数运算换序得 故 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 五、定积分的性质 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 证 性质2 定积分的线性性质 证: 当 时, 因 在 上可积 , 所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 其他情形 证 性质4 性质5 性质5的推论： 证 （1） 解 解 解 令 于是 证 说明： 性质5的推论： （2） 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6 解 解 解 令 例5 证明 由 得 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 使 即 积分中值公式的几何解释： 函数f(x)在[a,b]上的平均值 积分中值公式的推广 . 解 由积分中值定理知有 使 解 由积分中值定理知有 使 解 由积分中值定理知有 使 求 证明 由积分中值定理知有 使 六、小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 3．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） 4．典型问题 (1) 估计积分值； (2) 不计算定积分比较积分大小． 思考题 将和式极限： 表示成定积分. 思考题解答 原式 解答 例 练 习 题 练习题答案 练 习 题 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时