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第十四节 抽象函数型综合问题 【知识要点】 抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势． 【基础复习】 1、已知函数的定义域是，则函数的定义域是 。 2、设函数对一切都有，若，则 。 3、已知为偶函数，则函数的图象的对称轴是 。 4、函数在R上是减函数，且它的反函数为。若是图象上的两点，则不等式的解集是 。 5、设分别是定义在R的奇函数和偶函数，当时，,且，则的解集是 6、设函数在R上是增函数，且，则在R上单调情况是 递增 。 7、设函数在有定义，下列函数：①；②；③；④中必为奇函数的是②④ 8、定义在R的偶函数满足，且在上为增函数，下列是关于的判断：①是周期函数；②的图象关于直线对称；③在上为增函数④在上是减函数；⑤。其中正确的判断是①②⑤ 。 【例题分析】 例1定义在R上的函数满足：对任意实数总有，且当 时，． （1）试求的值； （2）判断的单调性并证明你的结论； （3）设，若，试确定的取值范围 （4）试举出一个满足条件的函数． 解（1）在中，令．得：．因为，所以． （2）要判断的单调性，可任取，且设． 在已知条件中，取，则已知条件可化为． 由于，所以． 为比较的大小，只需考虑的正负即可． 在中，令，，则得． ∵ 时，，∴ 当时，． 又，所以，综上，可知，对于任意，均有． ∴ ． ∴ 函数在R上单调递减． （3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子． ，即． 由，所以，直线与圆面无公共点．所以，． 解得：． （4）如． 点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决． 例2．已知定义在R上的函数满足： （1）值域为，且当时，； （2）对于定义域内任意的实数，均满足： 试回答下列问题： （Ⅰ）试求的值； （Ⅱ）判断并证明函数的单调性； （Ⅲ）若函数存在反函数，求证：． 解（Ⅰ）在中，令，则有． 即：．也即：． 由于函数的值域为，所以，，所以． （Ⅱ）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（＊） 这个问题实际上是：是否成立？ 为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系． 由于，所以在中，令，得． 所以函数为奇函数．故（＊）式成立． 所以，． 任取，且，则，故且 所以 所以，函数在R上单调递减． （Ⅲ）由于函数在R上单调递减，所以函数必存在反函数， 由原函数与反函数的关系可知： 也为奇函数；在上单调递减；且当时，． 为了证明本题，需要考虑的关系式． 在（＊）式的两端，同时用作用，得：， 令，则，则上式可改写为． 不难验证：对于任意的，上式都成立．（根据一一对应）． 这样，我们就得到了的关系式．这个式子给我们以提示： 即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端． 事实上， 由于， 所以，． 所以， 点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定的值． 例3（2001全国理，22）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈［0，］，都有f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2），且f（1）＝a＞0. （1）求f（）及f（）； （2）证明f（x）是周期函数； （3）an＝f（2n＋），求（lnan）. 解（1）∵x1，x2∈［0，］都有f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）， ∴f（x）=f（）f（）≥0，x∈［0，1］ f（1）=f（+）=f（）·f（）＝［f（）］2 f（）=f（+）=f（）·f（）=[f（）]2，f（1）=a＞0， ∴． （2）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称， ∴f（x）=（1+1－x），f（x）=f（2－x） 又∵f（－x）=f（x），∴f（－x）=f（2－x），∴f（x）=f（2+x）， ∴f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期． （3）∵x∈［0，］满足f（x1＋x2）＝f（x1）f（x2），I＝2n（n∈Z） ∴f（x1＋2n+x2＋2n）＝f（x1＋2n）·f（x2＋2n）， ∵x1，x2在［2n，＋2n］中也满足f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2） 又∵f（1）=f（1）·f（0），∴f（0）=1，∴f（2n）=1 又∵f（）＝f2（），又∵f（）＝a，∴f（）＝a ∴an＝f（2n）f（）＝a，∴ 评述：本题考查函数的概念、图象，函数奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识．设计循序渐进，依托基本的函数，进行一定的抽象并附加了一