初等函数连续性及应用.docVIP

初等函数的连续性及其应用 1、初等函数连续性 在基本初等函数中, 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的。我们证明, 指数函数对于一切实数x都有定义,且在区间内是单调的和连续的, 它的值域为。 而对数函数作为指数函数的反函数在区间内单调且连续。 幂函数的定义域随a的值而异, 但无论a为何值,在区间内幂函数总是有定义的。可以证明,在区间 0, +￥ 内幂函数是连续的。事实上,设x 0, 则，因此, 幂函数可看作是由复合而成的。由此,它在内是连续的.如果对于a取各种不同值加以分别讨论,可以证明幂函数在它的定义域内是连续的。 结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。 最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间,就是包含在定义域内的区间。 2、初等函数连续性的应用 ①（复合函数连续性）若u ψ（x）在点处连续，y f（u）在处连续，则y f（ψ（x））在处也连续，且。 推论 若，y f（u）在处连续，则 因此，在处理初等函数极限问题时可直接利用此推论（一般情况下，初等函数符合上述要求） 例 求。 解： ②根的存在定理或零值点定理/介值定理/最大值最小值定理 在使用这几个定理时，若对象为初等函数且x在定义区间内，则可认为此对象为连续函数，可直接使用这几个定理，不必再完整证明其连续性。 ③一致连续性的判定 根据康托尔定理，若一初等函数在一闭区间上有意义，则其在此闭区间上一致连续。 因此，在平时计算证明过程中，初等函数连续性的应用可以简化这一过程，带来便捷。