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因子分析优化模型及其精确解( 林海明1 金华2 蔡佳3 (1.广东商学院 a经济贸易与统计学院，b国民经济研究中心，广东广州510320 2.华南师范大学数学科学学院 广东广州510631 3.广东商学院数学与计算科学学院，广东广州510320) 摘要：因子分析模型在特殊方差阵为对角阵的条件下，公因子不解决问题；主因子法中缩减的样本相关阵特征值可能为负，最大似然法的特殊方差可能为负，导致了大的误差甚至不解决问题。为了改变这些状况，这里根据因子分析的目的之一是降维和能较清晰解释变量，找出了因子分析模型降维的优化条件和更具优势的方法，建立了因子分析优化模型，证明了：因子分析主成分法下公因子载荷阵及其Thompson因子得分，是因子分析优化模型因子载荷阵及其因子值的精确解，用熟知的实例说明了因子分析优化模型精确解的优良性。 关键词：因子分析；优化；模型；精确解 中图文分类号：O212 文献标识码：A 一、引言 Spearman C([1]，1904)从智力测验得分的统计分析提出了因子分析。张尧庭和方开泰教授([2]，1982)指出“因子分析的用处已为许多实际工作所证实。”方开泰教授([3]，1989)指出“因子分析模型是多元分析诸方法中遗留问题较多的一个，许多问题需进一步完善和发展。”Johnson R A和Wichern D W教授([4]，2003)指出“因子分析对行为科学和社会科学有着巨大的直观上的吸引力。”“因子分析在其全部历史上时时都激起相当激烈的争论。”“在介绍的所有因子估计方法中，还没有一个可推荐为具有全面的优势。”这些说明：因子分析模型、理论、方法的作用和存在的问题，迄今是国内外备受关注的重要内容。 迄今国内外流行的是以下因子分析模型[4]： 有p维的可观测随机向量X=，均值为E(X)= μ =，协差阵为Cov(X)=∑=,求：称之为公因子载荷阵的L=,不能观测的称之为公因子的随机向量F =,称之为误差或有时也称为特殊因子的随机向量ε =,使 X-μ =LF +ε， (1.1) Cov(ε,F )=0，E(F )= 0，Cov(F )= Im，E(ε)= 0， (1.2) (1.3) 称为特殊方差。式(1.1)-(1.3)中的关系构成正交因子模型。 由式(1.1-1.3)有：∑=LL′ +Ψ。 以下用常见的例说明因子分析模型存在的问题： 例1 设是可观测3维随机向量，其均值为，协差阵为： ([3]例9.1,[4]例8.1)。 m =2时，可验证(或见附)因子分析模型有精确解(保留4位小数)：： ， 即，，。 例1表明：因子分析模型在条件式(1.3)下，公因子F不解决问题。 原因是：(1)公因子F不能解释X中不相关的变量(X3)；(2)公因子F2的方差贡献 =0.1716(小)，F2只能作为误差项，即公因子F含有误差项( F2)，不能降维。 Johnson, R. A等教授[4]指出：“对因子分析而言不幸的是，大多数协差阵∑不能作因子化化为LL′ +Ψ，且使其中公因子数m较p小得多。”(即不能降维)。 即类似例1的问题是普遍存在的，为了解决问题，因子分析模型是需要加入优化条件的。因子分析的目的之一是能降维和能较清晰解释变量，从而重要的是：找出因子分析模型能降维和能较清晰解释变量的优化条件。故我们提出 问题1 在因子分析模型加入能降维和能较清晰解释变量的意义下，如何建立因子分析优化模型？ 理论、方法和应用方面，因子分析模型的估计解存在不可行的状况。如常用方法中，主因子法中缩减的样本相关阵特征值可能为负[3]；最大似然法的特殊方差可能为负[4]。公因子的估计方法主要有回归法、加权最小二乘法等，迄今不能明确哪个估计方法具有较全面的优势。这些给数据分析带来了较大的困惑，从而重要的是：要能找出具有较全面优势的理论和方法，故我们提出： 问题2 在因子分析模型加入能降维和能较清晰解释变量的意义下，能否找出具有较全面优势的方法，给出因子分析优化模型的精确解？ 研究进展：英国统计学家Kendall, M教授[5](1975)，对重要的前m个主成分进行标准化，并将这些变量作为公因子F变换来表示出X，其余的p-m个变量看作是误差项。给出了主成分法估计公因子载荷阵L的实例。美国统计学家Johnson, R. A等教授[4]遇到了方法难题：m=p时，主成分法并不很有用。方积乾教授[6](1995)在变量标准化下，给出了用前m个标准化主成分(或旋转后)估计公因子F的实例。 统计