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摘 要 离散变换（Discrete Fourier Transform）简称DFT在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛它建立了离散时域和离散之间的联系。MATLAB软件环境下读入图像，实现图像的离散傅立叶变换（DFT），并对系数进行分析，并对图像变换后的系数的分布特点进行分析和变换后的系数进行重新排列，将低频系数移到中心位置。 关键词：DFT；MATLAB；系数分析 目 录 1 课题描述 1 2 设计原理 1 2.1 离散傅立叶变换原理 1 2.2 二维离散傅立叶变换的性质 2 3 设计过程 5 3.1 软件介绍 5 3.2 设计内容 6 3.3 设计程序 6 3.4 程序运行结果及分析 6 总 结 9 参考文献 10 1 课题描述 离散变换（DFT）在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛。它建立了离散时域和离散之间的联系。如果直接应用卷积和相关运算在时域中处理，计算量将随着取样点数的平方而增加，这使计算机的计算量大，很费时，很难达到实时处理的要求。因此，一般可采用 DFT方法，将输入的数字信号首先进行 DFT变换，在频域中进行各种有效的处理，然后进行 DFT反变换，恢复为时域信号。这样用计算机对变换后的信号进行频域处理。比在时域中直接处理更加方便，计算量也大大减少，提高了处理速度。因此，DFT在数字图像处理领域中有很大的实用价值。 （2.1） （2.）(s = 2π/Ts=N (0，并离散。在DFS的基础上, 只对时域和频域取一个周期, 构成离散傅立叶变换对，即DFT： （2.）的傅立叶变换为： （2.） （2.） 在数字图像处理中，图像取样一般是方阵，即，则二维离散傅立叶变换公式为： （2.） （2.）(1)线性 傅立叶变换是一种线性算子。设和分别为二维离散函数和的离散傅立叶变换，则 其中是常数。 （2.） (2)可分离性 二维离散傅立叶变换对可分离成两部分之乘积 （2.） （2.） 均取。 可分离性的重要意义在于：一个二维傅立叶变换或反变换都可分解为二步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换或反变换。 (3)平移性 傅立叶变换的平移性有下式给出： （2.） （）的原点移到频域方阵的中心，以便可以清楚地分析傅立叶变换谱的情况。要做到这点，只需要令 则 （2.）),只要乘上因子进行傅立叶变换即可实现。以下实例图表现了图像平移前后的变化情况。 a平移前的傅立叶变换 b平移后的傅立叶变换 \图2-1 傅立叶变换的平移性 (4)周期性和共扼性 离散傅立叶变换和反变换具有周期性和共轭对称性。傅立叶变换对的周期性可表示为 （2.） （2.） 共扼对称性克表示为 （2.）（2.）或反变换后得到的都是具有周期为的周期性重复离散函数。但是，为了安全确定或，只需变换一个周期中每个变量的个值。就是说，为了在频域中完全的确定，只需要变换一个周期。在空域中，对也有类似的性质。共扼对称性说明变换后的幅值是以原点为中心对称。利用此特性，在求一个周期内的值时，只需求出半个周期，另半个周期也就知道了，这大大的减少了计算量。 为了说明，以一维变量为例。如图2-2所示，周期性表明以长度为的周期重复出现。共轭对称性说明变换的幅值以原点为中心对称，此时离散傅立叶谱在一个周期是两个背对背的半周期的谱。如果在变换前将乘上,就能将变换后的谱的原点移至处，这样在一个周期中，可显示出一个完整周期。 图2-2傅立叶变换的周期性和共轭对称性例图 (5)旋转不变性 若引入极坐标： 则和分别变为和,在极坐标系中，存在以下变换对： （）在时间域中旋转角度后，相应的傅立叶变换在频域中也旋转同一角，反之，如果在频域中旋转角，其反变换在空间域中也旋转角。 (6)平均值 二维离散函数的平均值定义如下：