4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法讲述.pptVIP

§4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法 作业 P183 1 1 3 5 2 1 * * 4.3.1 可降阶的一些方程类型 即 即 解 令 则方程化为 这是一阶方程,其通解为 即有 对上式积分4次, 得原方程的通解为 一般形式: 因为 即有新方程 将这些表达式代入 4.59 可得 解 令 则方程化为 从而可得 及 这两方程的全部解是 例2 再代回原来变量得到 所以得原方程的通解为 3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶 的非零解. 令 则 代入 4.69 得 即 引入新的未知函数 方程变为 是一阶线性方程,解之得 因而 则 因此 4.69 的通解为 即 注:一般求 4.69 的解直接用公式 4.70 解 这里 由 4.70 得 例3 代入 4.2 得 若 则 即 因此,对 4.67 仿以上做法, 二、二阶线性方程的幂级数解法 对二阶变系数齐线性方程 其求解问题,归结为寻求它的一个非零解. 下面介绍用级数表示的解? 定理10 定理11 解 将方程改写为 易见,它满足定理11条件,且 将 4.75 代入 4.74 中,得 代入方程得 代回原来的变量得原方程的通解为