0和正整数的一些性质.docVIP

整数：这里只涉及0和正整数。 1.是否能被2整除分为奇数和偶数。能被2整除的数称之为偶数，除以2后余数为1称之为奇数。奇数和偶数的运算定律有以下13条。 （1）奇数±奇数＝偶数 （2）偶数±偶数＝偶数 （3）奇数±偶数＝奇数 （4）偶数±奇数＝奇数 （5）奇数×奇数∑奇数 （6）奇数×偶数＝偶数 （7）偶数×偶数＝偶数 （8）奇数÷奇数＝奇数（若可以除尽的话） （9）奇数的连乘积永远是奇数，若干个整数相乘，如果其中有一个是偶数，那么乘积一定是偶数 （10）相邻两个自然数之和必然为奇数，相邻两个自然数之积必然为偶数 （11）两个整数的和与两个整数的差具有相同的奇偶性 （12）奇数的平方被4除余1，整数的平方是4的倍数 （13）奇数用（2k－1）或（2k＋1）来表示，偶数用2k表示（其中k为整数） 2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能够被b整除，或者说b能整除a。记作：b |a 整除的几个性质： （1）两个数a和c都能够被b整除，那么（a+c）也能够被b整除 （2）a能够被b整除，那么用任意不为零的整除c乘以a得到ca也能被b整除。 （3）对任意不为零的数a，有a能够被1和本身整除 （4）若a能够被b整除，b也能够被a整除，那么a与b的绝对值相等。 常用的几个数字整除的判断方法 （1）能被2整除的特征：个位数字为0，2，4，6，8的整数 （2）能被3整除的特征：各个数位数字和能被3整除 （3）能被4整除的特征：末两位数能够被4整除 （4）能被5整除的特征：个位数字为0，5的整数 （5）能被8整除的特征：末三位数能够被8整除 （6）能被9整除的特征：各个数位数字和能够被9整除 （7）能被7整除的特征：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除 （8）能被11整除的特征：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除 ②奇数位上的数字和与偶数位上的数字和之差能被11整除 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除 （9）能被13整??的特征：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除 3.如果a能够被b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数。 4.正整数的另一种分法：整数可分为1、素数和合数。素数：除了1和他本身之外，没有其他的约数。合数：除了1和本身之外还有其他的约数。1既不是素数，也不是合数。 1~100以内的素数：2 3 5 7 9 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 57 59 61 67 71 73 79 83 89 93 97 每个合数都能写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。 5.公因数与公倍数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数 若两个数之间的最大公因数为1，则这两个数互质（互素）。 最大公因数的性质： （1）几个数同除以他们的最大公因数，所得到的商互质。 （2）几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。 （3）几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以m 最小公倍数的性质： （1）两个数的任意公倍数都是最小公倍数的倍数 （2）两个数的最小公倍数和最大公约数的乘积等于这两个数的乘积 求最小公倍数和最大公约数的方法：短除法 和 分解素因数法。 6.余数和同余：余数a÷b＝c……n 同余：若两个整数a，b除以m的余数相同，则成a，b对模m同余。 已知三个整数a，b，m。如果（a-b）能够被m整除，就称a，b对模m同余。 记作a≡b（mod，m） 同余的性质： ①自身性 a≡a（mod，m） ②对称性 若a≡b（mod，m） 则b≡a（mod，m） ③传递性 若a≡b（mod，m），b≡c（mod，m）则a≡c（mod，m） ④和差性 若a≡b（mod，m），c≡d（mod，m）则a＋c≡b＋d（mod，m）