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Case Goble法导论 　　　　 作者：G.G.Goble 　 　　 第  PAGE 28 页共  NUMPAGES 28页 PAGE  PAGE 28 Case Goble 方法预测桩的承载力 作者： G.G.Goble 第1页共20页 Case Goble 法导论 Case-Goble Method Derivation 作者：G. G. Goble [提示]以下的公式推导虽然没有十分严格的数学表述，但我们用“d”表示一个微小的时间增量和长度增量。这样“d”就是变化量“⊿ ”的意思，“dd”就表示“⊿d”的意思。“rho”就表示“ρ”的意思。 波速的推导和比例性描述同样不是十分严格的，它们是为了易于明白而用图表举例来说明波的传播过程。 我们所有的波动方程表达式的导出均假设杆是均质的（面积和弹性模量保持不变）一维线弹性杆（即杆的长度远远大于杆的直径）。有时候，在实际的桩基工程中我们可能会违反这些假设，然而，我们试图努力估计这样违反到底会产生多大的误差，并且误差达到多大才能够被我们接受。 1.波速的公式推导 假设一根一维弹性杆在一端突然受到一个力P的作用，此时的时间为t，则杆的其它部位的质点仍处于静止不动状态。 经过一个很短的时间间隔 dt 后，杆件的一个微小段受到压缩，我们假设这一微小段的长度为dL，因为这一受压的微小段是在dt时间内进行的，因此，我们称波速（压缩波）为： c=dL/dt (1.1) 由于受到压缩，质点A由位置A点运动到A’点，其位移为dd ，形变 dd可由杆件的横截面积A和弹性模量E，由下式求得： dd=(PdL)/(EA) (1.2) 那么质点A的运动速度为： dv=dd/dt (1,3-1) 因为 dd=(PdL)/(EA) 所以 dv=(PdL)/(EAdt) (1,3-2) 因为 c=dL/dt 所以 dv=(Pc)/(EA) （1,3-3） 质点A的加速度为： a= dv/dt 或写成 a=(Pc)/(EAdt) (1,4) 根据牛顿第二定律有： P=ma (1,5) 用a=(Pc)/(EAdt)和m=dLAρ代入上式得： P= (dLAρ)((Pc)/(EAdt)) 消去P,A及用c=dL/dt 代入上式,得 c2=E/ρ (1,6) 因此我们得出波速c是物质的固有特性。 总结： （1）“波速”是压缩或拉伸区沿杆件传播的速度。 (2)“质点速度”是质点在杆件中的运动速度。 [例题1]分别用“米”制、“英”制、“SI单位”制计算混凝土桩的波速、弹性模量、质量密度。 解（a）米制：E=400t/cm2 ρ=(2.4t/m3)/(9.8m/s2) c=[400×9.8/(2.4×104)]1/2=4040m/s （b）英制：E=5000ksi ρ=(153 lb/ft3)/(32.2ft/s2) c=[5000×32.2×144/(153×10-3)]1/2=12300ft/s （c）SI: E=40GPa ρ=2400kg/m3 c=[40×109/(2.4×103)]1/2=4082m/s 2.阻抗定义(成比例关系) 我们再次假设弹性波在一均匀的弹性杆中传播的速度为c，如果杆前面受到一力P作用，我们注意到某一截面的质点速度为： dv=dd/dt dv=Pc/EA (力的形式) dv=σc/E (应力的形式) （2，1） dv=εc (应变的形式) 通常，我们用速度v代替速度的变化量dv，但我们必须记住，如果没有别的波沿着既定的方向传播，那么比例是恒定的，这比例（c/EA）的倒数为 Z=EA/c