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第九章? 定? 积? 分? 教学课题：§1定积分的概念 教学目的：深刻理解定积分的定义及其存在定理 教学重点：定积分的定义 教学过程： 一、问题的提出 1、????? 曲边梯形的面积。 平面上由一条封闭曲线所包围的面积的计算，人们可以在这个图形上画若干条间隔为1 的互相垂直的直线段（见图），把整个图形分割成有限个子图形，根据面积具有可加性，所以整个图形的面积等于各子图形面积之和，即可以转化为有限个边长为1的正方形的面积与有限个如图（b）所示的曲边梯形ABCD面积之和。那么如何计算曲边梯形的面积呢 　 　　 　 　 所谓的曲边梯形ABCD，如果按照图所示建立坐标系，是指由函数，且，直线及所围成的平面图形。度量这个图形面积的困难在于它的一条边是曲边，怎么解决这个问题呢？退一步想，可先求其近似值。例如，将曲边梯形如图1.2所示分割成个小曲边梯形，由于，当自变量x在很小范围内变化时，因变量的变化也很小，所以当小区间的长度很小时，在上的小曲边梯形可以近似为小矩形。而曲边梯形ABCD的面积也就可以近似地看作有限个这样的小矩形的面积之和。不难想象，按照这种方式，对曲边梯形分割得越细密，近似程度就越高，为了得到面积精确值，必须利用极限这一工具。现在，我们就按照这种方法来计算曲边梯形的面积。 在区间内任意插入个分点他们依次为? 将分成个小区间，，在分点处作垂直于轴的直线：，将曲边梯形ABCD分割成个小曲边梯形。在每一个小区间上任取一点，以为高、以区间为底做成小矩形，用它的面积近似代替区间上的小曲边梯形的面积。于是，这个小矩形面积之和可以看作曲边梯形ABCD面积的近似值，即 令，则“”就完全刻画了对曲边梯形ABCD分割无限细密的过程，此时阶梯形的面积将无限趋近于曲边梯形的面积。因此，有 ???????????????????????? 这样我们用一个特定结构的和式的极限表示了曲边梯形的面积。 2、????变力所作的功。 假设力的大小是连续变化的，力的方向始终保持不变，质点在力的作用下，沿着力的方向运动，不妨假定力的方向与轴的正方向同向，在这种情况下，求质点从轴上的点运动到点（）时，力所作的功（图3）。 在物理学中，如果力是常力，且质点沿着力的方向运动的距离为， 则力所作的功。现在力的大小是不断变化的，即。在区间内任取个分点 ???????? ????? 将分成个小区间，。在第个小区间上。若很小，则在上变化不大，这时变力在可近似地看作一个常力，其中是上的任意一点。于是，把质点从点移动到点力所作的功近似于。从而，把质点从点移动到点，力所作的功 ????????????????? 可以想象，如果将分割的越细密，则上式的近似程度就越高，一旦分割无限细密，则近似值就转化为精确值。于是，令，则有 ???????????? 虽然上述两个实例的背景不同，一个式计算曲边梯形的面积的几何问题，另一个是求变力作功的力学问题，都归结为求某一函数在其定义区间上具有特定结构的和式的极限。这个极限在数学分析及其各种应用中有非常重要的作用，就是“分割、近似求和、取极限”，并且这里所介绍的思想、方法，将以不同的变化形式在整个课程中多次重复着。 二、定积分的定义 定义1. 设函数在区间有定义，在内任意插入n-1个分点：，且 ???????????? 记此分法为，， ，作和式 其中，，设，若极限 存在，且与分法及的选取无关，则称在可积，称此极限值为函数在上的定积分。记作 ??????????????????????? （1.1） 这里数“”与“”分别称定积分的下限与上限，称为积分区间，称为在上的积分和。 上述定义属于黎曼（Riemann 1826～1866 德国数学家），他首创的把此定义在一般形式下阐述出来，并研究了它的应用范围。因此，有时也称为黎曼和，也成称定积分为黎曼积分。在区间上黎曼可积的函数全体所构成的集合，记作。 上述定义可以用语言描述如下： 定义2 设为一常数。，，当时，有 在的任意选取下皆成立，则称为是函数在上的定积分。记作 ??????????????? 若不存在，则称函数在上不可积。 根据定义1或定义 曲边梯形的面积是函数在曲边梯形的底边上的定积分，即 ??????????????????????? 变力所作的功，就是变力在质点运动区间上的定积分，即 ?????????????????????? 下面我们举两个用定义求定积分的例子。 例1.? 试证。 证 由于被积函数，对于区间的任意分法 ????????????????? ??? 及任取的（， ），有积分和 ????????? 且????????????????????? 这里，即 例2、????? 试证。 【证】? 对于取间的任意分法 ???????????? 及任取的，注意到 ?