离散数学定义定理(下).docxVIP

1、设A为任意非空集合，*是集合A上的二元运算。 （1）封闭性： （2）结合律： a*（b*c）=（a*b）*c （3）交换律： a*b=b*a （4）幂等率： a*a=a （５）分配律： a# (b*c)=(a# b)*(a #c) （b*c）# a=（b #a）*（c# a） （6）吸收率： a*b=b*a a #(b*c)=a和a* (b# c)=a，则称 和*运算时可吸收的。 2、左幺元：e*x=x 右幺元：x*e=x。 幺元：x*e=e*x=x 3、左零元：β*x =β 右零元：x*β =β 零元：β*x =β*x =β 4、在A中有关于运算*的左幺元 和右幺元 ，则A中幺元e是惟一的。 5、在A中有关于运算*的左零元 和右零元， 则A中零元β是惟一的。 6代数系统A，*中，A的元素个数多于1个，e≠β。 7.e是关于*的幺元，若对A中某个元素a，ョb 左逆元： b*a=e 右逆元： a*b=e 逆元：a*b=b*a=e 8、A中存在幺元e，且每一个元素都有左逆元， *是可结合运算，左逆元=右逆元，逆元惟一。 9、半群： （1） 封闭 （2）(a*b)*c=a*(b*c) 10：半群+含有幺元e === 独异点（含幺半群） ===*运算的任何两行两列均不同 11、S，*是独异点， a， b均有逆元 （1） a-1-1=a （2）a*b有逆元，a*b-1= b-1*a-1。 定义4.3.1 设G，*是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算， （1）如果*是封闭的； （2）运算*时可结合的； （3）存在幺元e； （4）对于每一个元素 ，存在它的逆元；则称G，*是一个群。 定义4.3.2 设G，*是一个群，如果G是有限群，那么称G，*为有限群，G中元素的个数统称称为该有限群的阶数，记为 。 定义4.3.3 若群G中，只含有一个元素，即G=|e|，|G|=1，则称G为平凡群。 ，G关于*运算，构成一个群，这个群称为Klein四元群。 定义4.3.4 设G，*是一个群，若运算*在G上满足交换律，则称G为交换群或Abel群（阿贝尔群）。 定义4.3.5 设G，*是群，若 ，使得成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|。 定理4.3.1 设G，*为群， 有： （1） ； （2） ； （3） ；（4）；（5）若G为Abel群 ， 。 定理4.3.3 对|G|1的群不可能有零元。 定理4.3.4 设G,*是一个群，对于 。必存在惟一的，使a*x=b。 定义4.3.7 设G，*为群，若在G中存在一个元素a，使得G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。 定义4.3.8 设G，*是一个群，S是G的非空子集，如果S，*也构成群，则称S，*是G，*的一个子群，记作S≤G。 子群判别定理： 定理4.3.5 设G，*是群，H是G的非空子集，则H≤G iff。 （1） a，b∈H，有a*b∈H； （2） a∈H，有a-1∈H。 定理4.3.6 设G，*是群，H是G的非空子集，iff a，b∈H，则a*b-1∈H。 定理4.3.7设G，*是群，H是G的有穷非空子集，则H是G的子群iff a，b∈H，有a*b∈H。 设G，*是群，C={a|a∈G，且对 x∈G有a*x=x*a}，C又称CentG. 定义4.4.1 设A,☆,*是一个代数系统，如果满足 （1）A，☆是阿贝尔群； （2）A，*是半群； （3）运算*对于运算☆是可分配的； 则称A,☆,*是环。 定理4.4.1 设A,+,·是一个环，则对任意a，b∈A有 （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） 其中 是加法幺元，-a是a的加法逆元，a+（-b）记为a-b，注意上面各式中不能只理解是实数上的加法与乘法。 定义4.4.2 设R，+，·是环，对a，b∈R，a≠0，b≠0，但a·b=0；则称a是R中的一个左零因子，b是R中一个右零因子；若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它是一个零因子。 定义4.4.3 设R是一个环，对于任意的a，b∈R，若a·b=0，则a=0或b=0，就称R是一个无零因子环。 （整数环、有理环、实数环、复数环都是无零因子环。） 定理4.4.2 设R，+，·是环， R是无零因子环的充分必要条件，是在R中乘法适合消去律，即对任意a，b，c∈R，a≠0，若有a·b=a·c（或b·a=c·a），则有b=c。 定义4.4.4 设A，+，·是环。如果A，·是可交换的，则称A，+，·是可交换环。 如果A，·含幺元，则称A，+，·是含幺元。 定义4.4