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第一章 实数集与函数 问题1 为什么与表示同一实数？ 答 因为 ， 于是与表示同一实数。为了实数的无限十进小数表示的统一性，约定把表示为。 问题2 非空有界数集的上确界是否是中的最大数？下确界是否是中的最小数？在什么样情况下，非空有界数集的上确界是最大数，下确界是最小数？ 答 如果一个数集的最大（小）数存在，则它就是的上（下）确界。有限数集必有最大（小）数，故有限数集必有上（下）确界。而无限集的上（下）确界就不一定是的最大（小）数。例如数集 ， 可证 ， 。 先证，注意到，且充分大时，可以充分接近于1。 （1），； （2），当充分大时，有，于是。 同理可证，但是并不是的最大，最小数。 若非空有界数集的上确界，则是最大数；若的下确界，则是最小数。故对于有界无限数集来说，其上（下）确界可以看作最大（小）数的推广。 问题3 设狄???克雷函数 ，试问复合函数和是否存在？ 答 设有两函数 ， 记，若，则与可以复合成函数 。 （1）对，有，于是与可以复合成，其定义域为。 （2）对， ， 于是与不能复合成。 问题4 试问周期函数的定义域是否必定是？ 答 否。例如，其周期，但是定义域为，。由此可见周期函数的定义域不一定为。 问题5 试问周期函数是否必定有基本周期（最小正周期）? 答 否。例如，常数函数，狄利克雷函数都是周期函数。任何正实数都是常数函数的周期，任何正的有理数都是狄利克雷函数的周期，但是这两个函数都无最小正周期。 第二章 数列极限 问题1 如何用方法给出的正面陈述？并验证和是发散数列。 答 的正面陈述：，，，使得。 数列发散，。 （1）。，，， 只要取，便可使，于是为发散数列。 （2）。若，，取为任何奇数时，有。若，，取为任何偶数时，有。若，，对任何，有。故为发散数列。 问题2 数列的子列的下标，是在变动还是在变动？ 答 子列的下标是随着变动的。例如是由中偶数项组成的子列，其中。子列的下标满足（1）；（2）。这是子列下标的两个基本性质。 问题3 如何给出柯西收敛准则的否定形式的正面陈述？ 答 柯西收敛准则的否定形式是： 发散，，，使得。 它的直观意义是：总存在正数，不论怎么大，总存在大于的，使得与之间的距离大于或等于。 上述准则的一个重要应用是可以用它证明数列的发散性，例如 为一发散数列。这是因为：，，，使得 。 这个结论在级数理论中将有重要的作用。 第三章 函数极限 问题1 在函数极限的定义中，怎样理解的“任意”和“给定”这两个性质。 答 方法使用“静态”的定量形式描述动态的极限过程。“对给定的，，当时，有”，形式上是一个“静态”的描述；当变动趋向于零时，一系列“静态”描述就刻画了动态的极限过程。由此可见正数的“任意”和“给定”这两个特性在上述过程中是相辅相成的。 问题2 极限除法法则中为什么只假设，而不假设？ 答 若，由函数极限局部保号性，领域，，，这就保证了分式在内有意义，且。 若只设，有可能，于是极限除法法则不成立。例如，当时，，但是。 问题3 试述判别不存在的各种方法。 答 （1）按定义验证：，证明，即 ，，，使得。 （2）利用归结原则： （a）。 （b）。 （3）利用函数极限的柯西准则的否定形式： 问题4 为何不能直接利用不等式 ， 其中令，由得到？ 答 不等式的两边是数列和，而中间项是函数，这就不能利用函数极限的迫敛性来证明。 为此需要定义两个阶梯函数： 。 其中递增有上界，递减有下界，。于是由 令，根据函数极限的迫敛性，证得 。 注 若不用迫敛性，也可用与的方法由 ，证得。 问题5 在本节教材例2中求极限 时，为何用等价无穷小量代换，会引出错误的结果？ 答 由定理3.12可知，在求极限时，只有对极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代。而在极限式的和、差运算中应用等价无穷小量代换时，经常会丢失高阶无穷小量，而引起错误的结果。 今后在微分学中的泰勒公式可知 ， , 这里是比高阶的无穷小量，于是 ， 若随意地在原式中用，作代换，将会不合理地舍弃了高阶无穷小量，因而导致错误的结论。 函数的连续性 问题1 设函数在某领域内有定义，若对一列数，存在，当时，，试问是否能断定在点连续？ 答 在这种情况下，可以断定在点连续，这是因为： ，，时，； 对，，当，； 于是 ，，当，。 注 上面先由找到，再由找到的方法，其中是起了中间桥梁作用，我们应当注意这种分析技巧。条件中可用一列代替，，。 问题2 试给出区间上的函数不一致连续的正面陈述。 答 函数区间上不一致连续：，，，满足，但是。 问题3 为什么说“初等函数是起定义区间上的连续函数”，而不叙述为“初等函数是其定义域上的连续函数”？ 答 这是因为初等函数的定义域中可能包含某些“孤立”的