【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 选修4系列 文.docVIP

PAGE  PAGE - 11 - 选修4系列 N1选修4-1 几何证明选讲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 21．N1[2013·江苏卷] A．[选修4－1：几何证明选讲] 如图1－1所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC. 求证：AC＝2AD. 图1－1 证明：联结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB， 所以eq \f(BC,OD)＝eq \f(AC,AD). 又BC＝2OC＝2OD. 故AC＝2AD. N2[2013·江苏卷] B．[选修4－2：矩阵与变换] 已知矩阵A＝eq \o(\s\up7(－1,0)　0,2)，B＝1,0)　2,6)，求矩阵A－1B. 解：设矩阵A的逆矩阵为a,c)　b,d)， 则－1,0)　0,2)a,c)　b,d)＝1,0)　0,1)． 即－a,2c)　－b,2d)＝1,0)　0,1)， 故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝eq \f(1,2)， 从而A的逆矩阵为A－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,　,0))　0,eq \f(1,2))))． 所以A－1B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,　,0))　0,eq \f(1,2))))1,0)　2,6)＝－1,0)　－2,3)． N3[2013·江苏卷] C．[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2tan2θ，,y＝2tan θ))(θ为参数)，试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标． 解：因为直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0. 同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x. 联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2（x－1），,y2＝2x，))解得公共点的坐标为(2，2)，eq \f(1,2)，－1. N4[2013·江苏卷] D．[选修4－5：不等式选讲] 已知a≥b0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b0，所以a－b≥0，a＋b0，2a＋b0. 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b. 22．N1[2013·辽宁卷] 选修4－1：几何证明选讲 如图1－6，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE，证明： (1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC. 图1－6 22．解：证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝eq \f(π,2). 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq \f(π,2)， 从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故FE2＝AF·BF. 所以EF2＝AD·BC. B．N1[2013·陕西卷] (几何证明选做题)如图1－4所示，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________． 图1－4 eq \r(6)　[解析] 利用已知图形关系可得∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得eq \f(PE,PA)＝eq \f(PD,PE)，而PD＝2DA＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD＝6，PE＝eq \r(6). 22．N1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲如图1－6，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D. (1)证明：DB＝DC； (2)设圆的半径为1，BC＝eq \r(3)，延长CE交AB于