随机过程(3.3)第3章第3节西电宋月课程方案.pptVIP

复合泊松过程;§3 泊松过程推广;若将N(t)表示[0,t)内的随机点数, Yk表示第k个随机点 所携带的某种(能)量,则总量为;定理1 设 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.则 ;定理2：设{X(t)，t≥0}是复合泊松过程，则{X(t)，t≥0}是平稳的独立增量过程.;平稳增量性;例1：求复合泊松过程的相关函数;应用复合泊松过程的简单应用;例：考虑保险公司的全部赔偿.假设参加人寿保险者不幸死亡的人数N(t)是具有强度为λ的泊松过程.用Yn描述第n个死亡者（即保险值Yn是独立同分布的）.令X(t)表示[0,t)内，保险公司必须付出的全部赔偿.令Yn~E(a),试求[0,t)内保险公司的平均赔偿额，方差和特征函数.;定义 假设随机过程N={N(t)：t≥0}是一独立增量过程.设λ(t)：[0,+∞)→(0,+∞)是一个取正值的确定性(可测)函数，如果;称计数过程{N(t), t ?0}为具有跳跃强度函数?(t)的非齐次泊松过程，如果满足 (1)N(0)=0; (2)N(t)是独立增量过程; (3) ;例设非???次泊松过程N(t)的跳跃强度; 例 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量为?(t)(t=0为早晨5时，t=16为晚上9时) 假设乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的，求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求这两小时内来站乘车人数的数学期望。;解 12时至14时为t?[7,9] 在[0,t]内到达的乘车人数N(t)服从参数为?(t)的非齐次泊松过程 12时至14时乘车人数的数学期望为 12时至14时有2000人来站乘车的概率为;例：设某设备的使用年限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率。;例： 两个独立泊松过程的和是非为泊松过程？两个独立泊松过程的差是非为泊松过程？是否是复合泊松过程？;例： 设[0,t]内进入某一计数器的质点数为N(t)，{N(t),t≥0}是一强度为λ的泊松过程，再设到达计数器的每一个质点被记录下来的概率为p,Y(t)是[0,t]内记录下来的质点数.试证{Y(t),t≥0}是一复合泊松过程，并求其均值函数和方差函数及 P(Y(t)=0); 例 设在[0, t]内事件A已经发生n次，求第k次(kn) 事件A发生的时间Tk的条件概率密度函数. 解; 令h?0，则有; ; 例 设{X1(t), t?0}和{X2(t), t?0}是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为?1和?2。记 为过程X1(t)的第k次事件到达时间,记 为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求 即第一个泊松过程第k次事件发生比第二个泊松过程第1次事件发生早的概率。;解 设 的取值为x， 的取值为y， ;则 f(x, y)为 与 的联合概率密度 由于X1(t)与X2(t)独立，故; ;例 假设乘客按照参数为λ的Poisson过程来到一个火车站乘坐某次火车，若火车在时刻t启动，试求在[0,t]内到达火车站的乘客等待时间总和的数学期望．;例：甲乙两路公共汽车都通过某一车站.两路公共汽车的到达分别独立地服从10分钟一辆（甲），15分钟一辆（乙）的泊松分布.假定车总不会满员，试问： (1)可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其均值. (2)只可乘坐乙路公共汽车的乘客在此车站等车的时候，恰好有两辆甲路公共汽车通过的概率.;例（设备的故障率）假定某一设备发生故障的次数服从非齐次泊松过程，下图给出了自购入这个设备t个月后的故障率λ(t)次/月，这个设备的购买费用为K=21万元，修理费用为C=2万元/回.不考虑利息和经济变动，问时隔几个月更新这设备是最合适的.;例：某一公共汽车站的乘客到达服从平均1分钟1人的泊松过程，公共汽车的运行间隔服从8~12 分钟的均匀分布.试求自某一公共汽车开出此站到另一公共汽车驶入此站所到乘客数的数学期望和方差.;例：某镇有一小商店，每日8点开始营业，从8~11时顾客平均到达率线性增加，8时顾客平均到达率为5人/时；11时到达率达到最高峰20人/时；从11~13时，顾客平均到达率不变，为20人/时，从13~17时，顾客到达率线性下降，17时顾客到达率为12人/时.假设在不重叠的时间区间内到达商店的顾客数是相互独立的，问8:30到9:30间无顾客到达商店的概率？在这段时间内到达商店的顾客的数学期望是多少？;本章作业：2. 3. 5.(a)(b). 8. 9.