代数学的新生剖析.ppt

向量的另一种乘法是向量积，用“×”表示，也称为“叉乘”，在这种情形中，i，j，k 满足 i × i = j × j = k × k =0 ， i × j = k ， j × i = －k ， j × k = i ， k × j = －i ， k × i = j ， i × k = －j ， 因此，把 v 和 v’叉乘就得到 v ×v’=（bc’－b’c）i +（ca’－ac’）j +（ab’－ba’）k 它也可写成行列式的形式 : Gibbs 两个向量的向量积是一个向量，它的方向垂直于和所决定的平面，且指向通过较小的角度转到时右手螺旋所指的方向。 有趣的是，魏尔斯特拉斯在1861年证明：有有限个基元素的实系数或复系数线性结合代数，如果要服从乘积定律和乘法交换律，就只有实数代数和复数代数。这使人们了解到为什么寻求“三维复数”的努力是徒劳的。 第三节 布尔代数 1、布尔及布尔代数 2、杰文斯 皮尔斯 施罗德 弗雷格 皮亚诺 怀特海 罗素 19世纪中后叶，代数学还开拓了另一个完全不同的领域，即布尔代数。 早在17世纪，莱布尼兹就试图建立一种推理代数，通过演算完成一切正确的推理过程。但是莱布尼兹并没有完成这项工作。 1、布尔及布尔代数 莱布尼兹提出的逻辑数学化的思想在两个世纪后才获得实质性进展。英国数学家布尔的逻辑代数即现今所称的“布尔代数”基本上完成了逻辑的演算工作。 布尔的逻辑代数建立于“谓词量化”的基础上。传统的亚里士多德逻辑所讨论的命题是一种具有“主-谓”形式的命题，在其三段论的各种基本形式中，只有主词是被量化的。 Boole De Morgan 19世纪上半叶，一些逻辑学家在对逻辑形式做出新的分析后，发现实际判断不但要考虑主词的量，而且也要考虑谓词的量。将谓词量化的努力使人们想到可以用等式来处理命题，从而为布尔的逻辑代数作了技术上的准备。 1835年，20岁的布尔开办了一所私人授课学校。为了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数学知识的教科书。不久，他就感到惊讶，这些东西就是数学吗？实在令人难以置信。于是，这位只学过初级数学的青年自学了艰深的《天体力学》和很抽象的《分析力学》。由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成果写成论文发表。 这篇高质量的论文发表后，布尔仍然留在小学教书，他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德·摩根。摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。 在这种代数中，适当的材料上的“推理”，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时间里，又付出了不同寻常的努力。 1854年，他发表了《思维规律》这部杰作，当时他已39岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里程碑。几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后没有受到人们的重视。欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的哲学上稀奇古怪的东西，他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他的杰作出版后不久就去世了。 20世纪初，罗素在《数学原理》中认为，纯数学是布尔在一部他称之为《思维规律》的著作中发现的。此说一出，立刻引起世人对布尔代数的注意。今天，布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支。 1、0-1律 A*0=0 A+1=1 2、自等律 A*1=A A+0=A 3、等幂律 A*A=A A+A=A 4、互补律 A*ā=0 A+ā=1 5、交换律 A*B=B*A A+B=B+A 6、结合律 A*(B*C)=(A*B)*C A+(B+C)=(A+B)+C 7、分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC＝(A+B)(A+C) 8、吸收律1 (A+B)(A+B)=A AB+AB=A 9、吸收律2 A(A+B)=A A+AB=A 10、吸收律3 A(ā+B)=AB A+āB=A+B 11、多余项定律 (A+B)(ā+C)(B+C)=