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九年级数学备课组 刘 素 琴 九年级数学总复习 动态中的定值问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。 动态题是近年来中考的一个热点问题。 （2013•扬州）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y． （1）求y与x的函数关系式； （2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围； （3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长． （2014•扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处． （1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （3）如图2，在（1）条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度． （2015•扬州）如图，已知⊙O 的直径AB=12cm,AC是⊙ 的弦，过点C作⊙O 的 切线交BA的延长线于点P，连接BC （1）求证：∠PCA=∠B （2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长. （2016•一模）如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO=8，AO=6，CO=4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交……． （1）线段AN的取值范围是 . （2）当0＜t＜2时，①求证：MN:NP为定值；② ……． （3）当2＜t＜5时，①求证：MN:NP为定值； ② ……． 以几何知识和图形为背景，主要研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的变化规律或特点的一类试题. 就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、定值问题及存在性问题等. 解这类题要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，或抓住“变”中的“不变”、运动中的变化规律等. 动态 特征 动态 类型 基本策略 （2014•扬州） 已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处． 如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； AB=10 例1.如图2，在“自主练习”中的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度． “以静制动”， 抓住“变”中的“不变”， 构建合适的“模型”或“基本图形”突显内在联系. 求动态中的定值问题基本策略和要点 例2.如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（点P与A、B、C、D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，求点Q走过的路径长. 求路径长的定值问题关键 是什么？ 怎么求？ 如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，求点F运动的路径长. （15年桂林） （ 8 ） 谈谈你本节课的收获……. ？ 如图①，A（-8，0）、B（2,0）、点C在y轴上，若tan∠ABC=3，直线l绕点A以AB为起始位置顺时针转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点. （1）求点P的运动路径长. （2）如图②，过点D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连接PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由.