第八章参数估计(二)概述.ppt

例6：推广：设 E( X )=? , D( X )=? 2 为总体 X 的一个样本 证明 是 ? 的无偏估计量 (2) 证明 最有效 (1) (1) 设常数 证： (2) 故算术均值比加权均值更有效. 等号成立当且仅当 问题 无偏估计的方差是否可以任意小？ 若答案否定，那么它的下限是什么？ 这个下限能否达到？ 为此引入下面定理, 即 罗-克拉美(C.R.Rao – H. Cramer)不等式 美国科学院院士，英国皇家统计学会会员， 当今仍健在的国际上最伟大的统计学家之一，他于1920 年9 月10 日出生于印度的一个贵族家庭，1940 年获印度安德拉大学数学学士学位，1943年在印度统计研究所取得统计学硕士学位，随后赴英国剑桥大学师从现代统计学的奠基人R.A.费歇(Fisher)教授，并于1948年获得剑桥大学博士学位。 ? 在终极的分析中，一切知识都是历史； 在抽象的意义下，一切科学都是数学； 在理性的世界里，所有的判断都是统计学。 经典语录 定理 设 为实数轴上的开区间， 是总体 X 的分布密度族， 是 X 的样本, 是? 的无偏估计. 若以下三条件(即正规条件)满足： (1) 集合 与? 无关； (2) 存在，且对 中一切 ? 有 和 其中 (3) 则 罗-克拉美不 等 式 若离散母体X 的分布列为 且满足 定理中的正规条件, 则罗-克拉美不等式是 称 为无偏估计量方差的下界. 称 为? 的有效估计量. 当 时, 在满足正规条件的估计量族范围内有 效估计是最小方差无偏估计. 设? 的无偏估计为 , 则称 为估 计量 的效率，记为 若估计量 满足 则称 为? 的渐近有效估计量. 定义 由似然函数 例7 设母体 X 的密度函数为 为X 的一个样本观测值. 求? 的最大 为常数 似然估计量, 并判断它是否为? 的有效估计. 解： ? 的最大似然估计量为 它是? 的无偏估计量. 令 故 是? 的有效估计. 由 例8 为常数 则 是? 的无偏、有效、一致估计量. 由前例知 是? 的无偏、有效估计量. 所以 是 ? 的一致估计量. 证： §8.3 区间估计 引例 已知 X ~ N ( ? ,1), 不同样本算得的 ? 的估计值不同，因此除了给出 ? 的点估计外, 还希望根据所给的子样确定一个随机区间,使其包含参数真值的概率达到指定的要求. ? 的无偏、有效点估计为 随机变量 常数 如引例中，要找一个区间,使其包含 ? 的真值的概率为 0.95. (设 n = 5 ) 取 查表得 即 即 称随机区间 为未知参数 ? 的置信度为0.95的置信区间. 反复抽取容量为5的样本,都可得一个区间,此区间不一定包含未知参数 ? 的真值, 而包含真值的区间大概占95%. 置信区间的意义 若测得一组样本值, 它可能包含也可能不包含? 的真值, 反复抽 则得一区间 (1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 样得到的区间中大概有95%包含 ? 的真值. 算得 时, 区间的长度为 ——达到最短. 2.当置信区间为 问题 2.为何要取 ？ 1. 确定后, 置信区间是否唯一？ 与 答复 1.不唯一. 取 ? = 0.05 设 ? 为待估参数, ? 是一给定的数, ( 0?1). 若能找到统计量 ,使 则称 为 ? 的置信水平为1 - ? 的 置信区间或区间估计. 置信区间的定义 置信下限 置信上限 定义 ? 确定后, 置信区间的选取方法不唯一, 常选区间长度最小即估计精度最高的一个. 几点说明 置信区间的长度 反映了估计精度 越小, 估计精度越高. ? 反映了估计的可靠度, ? 越小, 越可靠. ? 越小, 1- ? 越大, 估计的可靠度越高,但 这时, 往往增大, 因而估计精度降低. 求参数 置信区间 先 提 高 精 度 再 处理“可靠性与精度关系”的原则 例如 求置信区间的步骤： 寻找一个样本的函数 它含有待估参数但不含其它未知参数, 它的分布已知且分布不依赖于待估参数. — 称为枢轴量 取枢轴量 给定置信度 1 ? ? ,定出常数 a , b ,使得 (引例中 ） 引例中 由 解出 得置信区间 * 第八章 参数估计 参数的点估计 参数的区间估计 点估计的评判标准 矩估计 最大似然估计 参 数 估 计 (1) (2) (3) 矩法估计步骤： 矩估计法原理： 用样本矩代替总体矩 （依据大数定律） ～ 定义 似然函数 求极大似然估计的一般步骤 （1）求似然函数 L(?); （2）取对数