第八章参数估计(一)概述.pptVIP

定义 似然函数 如果某统计量 满足 则称 是? 的极(最)大似然估计，简记为MLE（Maximum Likelihood Estimate） 定义 例6 放回抽样，抽 10 次发现有 3 次黄色粉笔，估计盒中黄色粉笔所占的比例?。 （推广：次品率问题） 解： 黄 白 则 X? b(1,?), 于是 p(x,?)=? x(1-?)1-x, x=0,1 令 得 ? 的极大似然估计 。 令 得 ? 的极大似然估计 注：选用对数似然函数，一方面是因为它使得计算变得更简单，另一方面是因为 lnx 是 x 的单增函数,lnL(? )达到最大值与L(? )达到最大值是等价的。 求极大似然估计的一般步骤 （1）求似然函数 L(?); （2）取对数，lnL(?); （3）令 ，得 。 注1: 当总体 X 的分布中含有多个未知参数时， 似然函数为L(?1, ?2,… ?m) 解得的 是?1, ?2,… ?m 的极大似然估计。 令 注2: 用上述方法求参数的极大似然估计值 有时行不通，这时要用极大似然原则 来求. 无驻点 不可导 求 的极大似然估计. 解：似然函数为 例7 求导并令其为0 对数似然函数为 解得 的极大似然估计值为 MLE估计量 P169. 5 总体 X 服从指数分布 e(λ), λ 为未知参数， x1, x2 , …, xn是样本。求 λ 的极大似然估计值。 解： 似然函数 取对数， 令 ，得 λ 的极大似然估计值 例8 设总体 X ~ N (?,? 2), x1, x2,…, xn 是 X 的样本值, 求 ?, ? 2 的极大似然估计. 解： ?, ? 2 的最大似然估计量分别为 令 例9 设 X ~ U (a,b), x1, x2,…, xn 是 X 的一个样本值, 求 a , b 的极大似然估计值与极大似然估计量. 解： X 的密度函数为 似然函数为 似然函数只有当 a xi b, i = 1,2,…, n 时 才能获得最大值, 且 a 越大, b 越小, L 越大. 令 xmin = min {x1, x2,…, xn} xmax = max {x1, x2,…, xn} 取 则对满足 的一切 a b , 都有 故 是 a , b 的极大似然估计值. 分别是 a , b 的极大似然估计量. 极大似然估计的不变性： 设 是? 的极大似然估计值, u(? ) (? ? ? )是? 的函数, 且有单值反函数 ? = ? (u), u?U 则 是 u(? ) 的极大似然估计值. 例 ：在正态总体N (?,? 2)中, ? 2的极大似然估 计值为 是? 2的单值函数, 且具有单值 反函数，故? 的极大似然估计值为 lg? 的极大似然估计值为 例 总体 X 服从指数分布 e(λ), λ 为未知参数， x1, x2 , …, xn是样本。求 E(X)=1/λ 的极大似然估计值。 解： 前面已求得λ 的极大似然估计值 由MLE的不变性 作业： 习题8： 1，4 * 以Mg为中心形成体的卟啉配位化合物 * 以Mg为中心形成体的卟啉配位化合物 * 以Mg为中心形成体的卟啉配位化合物 * 以Mg为中心形成体的卟啉配位化合物 * 以Mg为中心形成体的卟啉配位化合物 * 以Mg为中心形成体的卟啉配位化合物 * 第八章 参数估计 参数是刻画总体某方面概率特性的数.当这些参数未知时,从总体抽出一个子样，用某种方法对这些未知参数进行估计就是参数估计. 通过样本对总体未知参数进行估计 若?, ? 2未知, 通过构造样本的函数, 给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容. 例：X ~N (? ,? 2), 点估计 区间估计 参数估计的类型 点估计 —— 估计未知参数的值 区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值. 本章主要内容： 参数的点估计 参数的区间估计 点估计的评判标准 矩估计 最大似然估计 例： 设某城市房价 ， 估计未知参数 样本 点估计