第三章连续转动群2014概述.pptVIP

第三章 连续转动群 第一节 基本概念和定理 对称操作： 使物质体系所占空间位置不变的空间变换。 对称操作需满足两个基本条件： ① 任意两点间距离不变； ② 任意两向量间夹角不变。（ ②点可由①点导出） 对称操作群： 对于一个物质体系，由该体系的所有对称操作构成的集合。 * ③ 反演(inversion)：有定点O，使任一向量OP 变成OP′ 的操作，记作I . 点O 称为反演中心。反演与镜面反射相互关联，其中一个是基本操作。 （反演 = 绕含反演中心的轴转 ??角再做关于 σh 的镜面反射， ） 对称操作类型： 旋转(rotation)：绕固定轴(有向直线 )转某个 角度α ?[0 ~ 2??)，记作Ck(α) . * ② 镜面反射(或镜象、反映) (mirror reflection)： 镜面记作σ ，以 为法向量的平面，记作 . σh , σv 分别为垂直和通过主轴的镜面。 ④ 平移(translation)：体系中所有点沿相同方向移动 相同距离的操作，用矢量 表示（指向表方向，长度表距离）。 ◇ 空间操作(space operation)： 由平移操作实现，体系中所有点发生同方向同距 离的移动。 ◇ 点操作(point operation)： 体系中至少有一点不动的对称操作，称为点对称 操作，简称点操作。包括旋转和镜面反射。 例： 1. C3v 群：仅含点操作。 * * 2. 花瓶 所有Cz(φ)操作构成一个Abel群，称为SO(2)群或 R(2)群。 （二维旋转对称操作构成的二维旋转群，也称二维转动群） ? 有旋转对称轴； ? 旋转任意角度不变，无限多个 对称操作； ? 角度??旋转操作：Cz(φ) * 3. 圆球 绕过球心的任意转轴，旋转任意角度，均是对称操作，全体操作构成 SO(3)群或 R(3)群。 (三维旋转群) 过球心平面镜面反射也是对称操作，与R(3)群操作联合构成O(3)群。(三维全正交群，三维正交群，三维转动反演群) Ci = { E, I } I 与纯旋转操作对易，有 SO(3)? Ci = O(3) 设不动点为坐标原点，则点操作不改变任意两矢量 ， 间的相对位置（保长、保角变换）。 点操作对应一个算符 ? ： 内积 满足此关系的变换是保长、保角变换 * O α α 由 有 变换算符? 及对应矩阵A是幺正的。 ◇ 点操作的特点 三维实空间中，变换? 不会将实矢量变成复矢量， ∴ ?是实变换，结合幺正性，表明?是正交算符， A为正交矩阵： ； . 由全体3维正交变换(矩阵)构成的群称为三维全正交群，O(3)群。 SO(3)群是Special orthogonal group . O(3) = SO(3) ? Ci , Ci = { e, I } . O(3)：三维旋转反演群。 * ? n维全正交群 O(n) 旋转、反射在实空间中对应着正交算符 ? ， 以（ê1, ê2, ê3）为基，有： * ， （正交矩阵性质） * 引理 1. 三维实空间中，纯旋转操作所对应正交矩阵 A 的行列式等于 1 。 证明：Cz(φ) → A ，det A = ??(φ) . φ 连续变化，则 A的矩阵元和行列式也应连续变化。 φ z O Cz(0) → I0 ，??(0) = 1 . 反证法：设在某 φ 处，??(φ) = –1, 则必有φm ? (0, φ) ，使 ??(φm) = 0 , 而这违反 det A = ±1 . ∴ ??(φ) = 1 . Cz(φ) 1 –1 0 ??(φ) φ φm ， . 由引理1， ， ∴ . 正当操作： de