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PAGE17 / NUMPAGES17 高等数学部分 一、向量（矢量）及其运算 数学中所研究的向量一般是自由向量，即与起点无关的向量。这与物理中的某些向量不同，物理中所研究的很多向量不是自由向量而是约束向量，像力矢量与力作用点有关。 对于自由向量，若它们的大小相等，方向相同，我们就说向量是相等的，记作：。这就是说经过平移后能完全重合的向量是相等的。向量的大小叫做向量的模，向量、的模记作。模等于1的向量叫做单位向量，不论它的方向。模等于零的向量叫做零向量，记作：。零向量的起点和终点重合，它的方向可以看作是任意的。两个非零向量如果它们的方向相同或者相反，就称这两个向量平行，向量平行，记作。由于零向量的方向可以看作是任意的，因此可以认为零向量与任意向量都平行。 1.向量的加减运算 向量的加减法遵循平行四边形定则和三角形定则。 （1）向量的加法（如下图） 向量加法遵循下列运算规则： ①交换律： ②结合律： 注：求两个向量的和可用三角形法则也可用平行四边形法则，两种方法等效。 （2）向量的减法（如下图） 特别地，当时，有 由以上向量知识可知，物理学中求质点受多个力的合力时，可将矢量三角形法则推广到矢量多边形法则。 由以上知识还可知道 当三个向量的和为0时，即则以向量为边可以构建一个封闭的矢量三角形，同理当n个向量的和为0时，以这n个向量为边可以构建一个封闭的矢量n边形。如下图所示： 2.向量与数的乘积 向量与实数的乘积记作，它也是一个向量。它的模：，当时与方向相同，当时与方向相反。 向量与数的乘积遵循结合律与分配率： 下图中各向量的关系 3.向量的坐标表示法 向量在三条坐标轴上的投影叫做向量的坐标。 其中，看来这里的表示三条线段而不是三个点。 记作：这是向量的坐标表示式 对于起点为，终点为的向量 特别地，点对于原点O的向量： 这就是说如果向量起点在坐标原点，那么这个向量的坐标与它的终点坐标一致。 设有， 则有： 向量的模： 4.向量的数量积（也叫内积、点乘积、标积）运算 结果为一个数量无方向 可见两个向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。 物理学中的功就是采用数量积来定义的，即： 可见物理课本中给出的公式中的已不是矢量了而是矢量的模。 物理学中的磁通量也是采用数量积定义的，即： 如下图 由数量积的定义可以推得： （1） 这是因为夹角所以 （2） （3）方向是任意的，可认为方向与任意向量都垂直，因此有 （4）交换律： （5）分配率： 5.两向量的向量积（也叫叉乘积，矢积）运算 （叉乘积的结果仍是一个向量） 的模 的方向垂直于与所决定的平面（即） 的指向按右手规则从转向来确定。 物理学中的力矩就是采用叉乘积来定义的，即： 或 物理学中还有如下一些物理量是采用叉乘积来定义的： 角动量： 圆周运动中的线速度、角速度、位径的关系： 则 当时，即时，简写成： 安培力： 洛伦兹力： 叉乘运算的性质 （1） 这是因为夹角，所以 （2） （3） （4）分配率： 例：有两个向量，，现有一动点p，从开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为。另一动点Q，从开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为。设P、Q在时刻t=0秒时分别在处，则当时，t等于多少？ 解：因为 所以 又有 结合运动的分解知识可得： 经过t时间后 ， 于是 由可知 而 得 二、导数与微分知识在高中物理中的应用 导数反映函数相对于自变量变化的快慢程度，微分指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少。看来导数与微分有所不同，但二者有联系。 下面先来看导数概念的建立 1.平均速度和瞬时速度 对于某一作变速运动的质点，设在时间内发生的位移为，则这一过程的平均速度为，用这个速度只能大体上反映物体运动的平均快慢程度，不足以反映物体在各个瞬时的运动快慢，要准确确定物体在某一时刻的瞬时速度我们可以这样处理：比如说这段过程是从至这段过程，即。现在我们确定质点在时的瞬时速度，可让取得很短，即很接近。这样一来用来表示时的瞬时速度误差就小了，也就是说在这种情况下平均速度就近似等于时的瞬时速度了，在这个基础上如果我们让（也就是让）对求极限，那么这个极限值就表示时的瞬时速度了，即看来瞬时速度就是对平均速度求极限的结果。 2.切线问题 设有一曲线C其函数为，现在该曲线上任取两点M、N，并作曲线C的割线MN，该割线的斜率，为此割线的倾斜角。现让N点沿曲线C靠近M点则割线MN就会绕M点顺时针旋转，当N点和M点重合时，也就是时，即，割线MN便转到一个极限位置MT，我们就把这个直线MT称为曲线C在点M处的切线。由以上可以确定切线的斜率k，即。由此可见，切线MT的斜率就是割线MN的斜率在时的极限值。 在此我们要注意，圆的切线定义为与曲线