微积分二复习好帮手3(浙大内部资料).docVIP

多元函数积分学 微积分二大纲要求 了解 重积分的性质，二重积分的中值定理会重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积质量等）理解 二重积分、三重积分的概念两类曲线积分的概念理解 二重积分掌握 二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）x轴的直线至多与区域D的边界交于两点（垂直x的边界除处），则称D为x一型区域，且x一型区域D一定可表示为平面点集:即曲线（下曲线），（上曲线）及直线所围成的区域，如图所求（特殊情况下，直线段可能为一点即），此时 图9-1 图9-2 定义6.2若任意一条垂直y轴的直线至多与区域的边界交于两点（垂直于y轴的边界除处），则称D为y一型区域，且y型区域一定可表示为平面点集：即由线（左曲线），（右曲线）及直线所围成，如图所求（特殊情况下，直线可能为一点），此时 许多常见的区域都可分割成有限个无公共内点的x一型区域或y型区域，利用二重积分的可加性知，即，且或者为x一型区域或者为y型区域，则 2.在极坐标系下的计算 设则 当积分区域是圆域或圆域一部分时，可用极坐标变换，若被积函数中含有，更要用极坐标变换。 定义6.3若任意射线与区域D的边界至多交于两点（边界是射线段除外），则称D为一型区域，且一型区域D可表示为平面点集，即由曲线（下曲线），（上曲线），及射线，围成的区域如图6-3所示。（特殊情况下，可能为一点）。此时 图6-3 图6-4 图6-5 （1）若极点O在区域外部，此时区域D可表求为，如图6-3所示，则有 （2）若极点O在区域D边界上，且边界曲线 向外凸，(此时区域D可表求为，其中为边界曲线 的定义域，如图6-4所示，则有 （3）若极点O在区域D的内部，此时区域D可表示为如图6-5所示，则有 注：在区域的变化区间内，过极点作射线，此射线穿过区域D，穿入点所在的曲线为下限（下曲线），穿出点所在的曲线为上限（上曲线）。 有时也可以把D表示r一型区域：，即由曲线与圆所围成的区域。在r的变化区间，以O为心，以r为半径作圆，曲线按逆时针方向穿过区域D（图6-6），穿入点的极角为下限（称为小角曲线），穿出点的极角为上限（称为大角曲线），有 特别地，若区域D为：，其中均为常数，则 图6-6 图6-7 （1）若D是由曲线所围成的区域（图6-7）。经极坐标变换，方程为：，属于1（3）的情形，有 （2）若D是曲线所围成的区域（图6-8）。经极坐标变换，方程为：，属于1（2）情形，由，知 图6-8 图6-9 （3）若D是曲线所围成的区域（图6-9）。经极坐标变换，曲线方程为：，属于1（2）情形，由，知 3.对称区域上二重积分的性质 设D为平面区域，若 （i）若，且关于x轴对称，则 （ii）若，且关于y轴对称，则 （ⅲ）若，且关于O点对称，则 二、考题类型、解题策略及典型例题 类型1.1 计算二重积分 解题策略 画出积分区域，选择x-区域、y-区域或用极坐标变换 例6.1.1 计算二重积分其中D是由x轴、y轴与曲线所围成的区域； 分析 画出积分区域，选择x-区域计算方便. 解 区域D如图中阴影部分所示，由，得 因此， 作换元，令，有， 则 图6-10 图6-11 例6.1.2 设D是以点和为顶点的三角形区域，求 分析 画出积分区域，用区域的可加性，选择x-区域计算方便. 解 如图6-11，直线OA，OB和AB的方程分别为：和 例6.1.3 求二重积分的值，其中D是由直线及，围成的平面区域。 分析 画出积分区域，用线性运算法则， 选择y-区域计算方便. 解 积分区域D如图6-12。 其中 于是 例6.1.4 计算二重积分，其中D是由双曲线及直线所围成的平面区域。 分析 画出积分区域，选择y-区域计算方便. 解 注：一般情况下，应先画图，再确定积分限，如果不画图也很清楚，此时也可以不画图。 例6.1.5 设，求 解法一 ， 所以 分析 积分区域是圆域，用极坐标变换. 解法二 例6.1.6 设 求，其中 分析 巧妙利用被积函数中有y，原函数是，利用y-区域计算，根式可以去掉. 解 如图6-13，记 所以 例6.1.7 计算其中D为第一象限内由 所围成的区域。 解 区域D的图形如图6-14，用极坐标计算。 例6.1.8 计算积分其中 分析 积分区域是圆域的一部分，被积函数中有，用极坐标变换. 解 原式= 例6.1.9 计算二重积分，其中D是由曲线和直线围成的区域。 分析 积分区域