微积分二复习好帮手1(浙大内部资料).docVIP

第四章 矢量代数与空间解析几何了解 两个向量垂直、平行的条件曲面方程和空间曲线方程的概念常用二次曲面的方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、垂直、相交等）解决有关问题点到直线以及点到平面的距离空间曲线在坐标平面上的投影方程理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法第一节 矢量代数 1.矢量的概念 定义 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示方向可任意确定。长度为的矢量称为单位矢量。 定义两个矢量与，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。 称为按照的坐标分解式，称为坐标式。若记知是单位矢量且与的方向一致，且。因此，告诉我们求矢量的一种方法，即只要求出的大小和与方向一致的单位矢量，则若，知 其中是分别与x轴，y轴，z轴正向的夹角，而 且矢量间的运算 设 的确定（1）（2）与所确定的平面，方向可任意确定）垂直，且构成右手 用坐标式给出，则 由行列式的性质可知 的几何意义：表示以为邻边的平行四边形 的面积，即 容易知道以为邻边的三角形面积为 容易验证 的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。 的几何意义 表示以为邻边的平行六面体的体积，即 容易知道以为邻边的四面 体的体积为 的应用特别重要，既若直线L既垂直矢量，也垂直矢量，则L与确定的平面垂直，又也与确定的平面垂直，由两直线与同一平面，则两直线平行知L与平行，换句话说是直线L的方向向量，是确定平面的法矢量，这求直线方程与平面方程显得非常重要。矢量间的关系 1.2.的分量对应成比例，总存在唯一的常数，使。 以上是我们在实际中判断两矢量垂直的常用方法，请记住. 3.共面不共线总存在唯一的两个实数m,n，使4.设三个矢量不共面，则对空间任一矢量，总存在唯一的三个常m,n,使 5.设，上的投影指的是 把的起点平移到的起点，过的终点作的 垂线交上一点P，OP称为在的投影，记作 即 这个公式对我们在后面求点到直线上距离，点到平面距离，两异面直线垂线的都有帮助。矢量 ，2.， 例1 已知互相垂直，且，求的模。 与，下一题类似. 解 由两两垂直，知，知例 设，若以为邻边的平行四边行的面积为6，求常数k。 解 由公式得 例 已知都是单位矢量且，求 与. 解 由 又，故 例 设，向量共面且 解法一 设共面，知 （1） 由条件，有即 （2） 由条件即 （3） （1）、（2）（3）三式联立，解得，所以 解法二 因共面，且不共线，故可设 得 （4） 得 （5） （4）（5）联立，解得于是 解法三 由在上的投影相等且为正，知在的夹角相等且为锐角，又因与共面，知的方向即是AOB的角平分线方向，而的方向即是平分线方向，因此 平行，可设，由故 解法四 由 ， 按 例设原式 第二节 直线与平面 其中 1．设 直线L方程为，其中是直线L上一点是L的方向向量，P1（x1,y1,z1）是直线L外一点，则P1到L的距离为 证 连接P0P1，过P1作L的垂线，垂足为Q，以分邻边作平行四边形，由在直线L上，知，于是 注：在证明过程中假设P0不是P1的垂足，若P0是垂足，则，实际上时，上式依然成立。 2。设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0,是平面的法矢量，P1（x1,y1,z1）是平面π外一点则P1到平面π的距离为证 过作平面的垂线，垂足为Q，在平面π内选一点，连接P1P0，得矢量，由，知，于是 而从而 又P0点在平面π上，有故 3. 设有两异面直线 则两直线之间的距离 证 端点分别在两异面直线上的公垂线的长度称为两异面 直线之间的距离（图7-9）.过直线L1作平面π平行于直线L2， 在L2上取一点M2，在