第十五章 导数应用典型习题解答与提示.docVIP

第十五章 导数的应用典型习题解答与提示 习 题 15-1 1．（1）①函数在闭区间上连续是显然的， 　　 　②因，所以在开区间上可导， 　　　 ③， 　　　 即满足特例中三个条件，所以有一点，有成立； 　（2）①函数的闭区间上连续是显然的， 　　　 ②因，故在开区间上可导， 　　　 满足拉氏定理条件，因，令， 　　　 即，故，取 　　　 有成立； 　（3）提示：，因为，令，可求取； 　（4）提示：，因，令，可得。 2．（1）函数，在区间上满足拉氏定理的条件， 　　　 故， 即； （2）函数在上满足拉氏定理的条件， 故， 显然有，即有； 　（3）因函数在区间上满足拉氏定理的条件， 　　　 故， 　　　 注意到余弦函数在第1象限为减函数，即， 　　　 所以， 即，注：当且仅当时，不等式取等号； 　（4）函数在区间上满足拉氏定理条件， 　　　 故，即。 3．（1）因，故函数在上为单调减函数； 　（2），则函数在整个数轴上单调增，当然在上为增函数。 4．（1）函数在，上为单调增，在上为单调减； 　（2）函数在区间上为单调减，在区间上为单调增； 　（3）函数在区间为单调增，在区间为单调减； 　（4），令， 　　　 当时，，当－2＜＜－1时， 　　　 当时，，当时， 　　　 故函数在区间，上单调增，在上为单调减； 　（5）因，令，则， 　　　 当时，，则为函数的单调增区间， 　　　 当时，，则为函数的单调减区间； 　（6），则函数在上为单调增。 5．（1）提示，令，则，当时，； 　（2）提示，令，故； 　（3）设，所以， 　　　 因为当，所以，函数在上为单调增， 　　　 由，即； 　（4）设，则　， 　　　 故函数在上为单调增，所以，即。 6．（1）因，所以在为单调增，但作为的函数不是单调函数； 　（2）在上单调增，但在上不是单调函数。 习 题 15-2 1．（1）极大值，极小值； 　（2），令， 　　　 ，所以，则函数在处有极大值， 　　　 ，即函数在，有极小值； 　（3）函数在处取得极小值； 　（4）函数在处取得极小值； 　（5），令，为整数， 　　　 ， 　　　 故当时，，函数有极大值； 　　　 当时，，函数有极小值； 　（6），则，故， 　　　 令，当时，，当时，， 　　　 即函数在处取得极大值； 　（7），当时，不存在且函数在处连续， 　　　 当时，；当时，，即函数在处取得极大值； 　（8），因，故，即函数在上为单调增，无极值。 2．，取，令，得， 　 , 故当时，函数在处取得极大值为。 3．， 　 由题已知条件，故即函数在上为单调增函数，即它无极 　 值。 习 题 15-3 1．（1）因，即函数在上递增， 　　　 最小值为，最大值为； 　（2）函数在区间上最小值为，最大值为； 　（3），令，考虑， 　　　 ，则函数在区间上最大值为， 　　　 最小值为； 　（4），令，考虑，则函数在区间上的最小值为，最大值为； 　（5），令，得， 　　　 因为，则函数在区间上最大值为，最小值为。 2．当底面半径为 ，高为 时，用料最省。 3．当宽为5 m，长为10 m时，所围长方形面积最大。 4．设圆的半径为 ，则矩形的高为 ， 　 故截面面积 ， 　 故 ，令 ， m， 　 依题意必存在极大值。即当矩形底边约为 m，高约 m时，截面面积最大。 5．设C距A在输电线上的垂足为 km，则电线总长为， 　 则，令，则，依题意必存在极小值，所以 　 当变压器装置在距A垂足 km处，所用电线最省。 6．提示：设断面的宽为，这时高满足， 则有函数，求并解， 当截面矩形宽为，高为时，强度最大。 7．设圆锥底面半径为，高为，则， 　 则，令，即，依题意必存在极大值，所以当炸药包被埋在深为处，爆破体积最大。 习 题 15-4 1．（1）函数曲线在内呈现凹状； 　（2）函数曲线在内呈现凸状； 　（3）函数曲线在内呈现凹状； 　（4）， 　　　 即当、曲线呈现凸状，当、曲线呈现凹状； 　（5），令， 　　　 当、曲线呈现凹状，当、曲线呈现凸状，当、曲线呈现凹状。 2．（1）在区间内呈现凸状，在区间内呈现凹状，点为拐点； 　（2）在曲线呈现凸状，曲线呈现凹状，拐点； 　（3）， 　　　 令，求得，则当时、曲线呈现凹状，当时、曲线呈现凸状，即凹区间为，凸区间为，拐点为； 　（4），当时，不存在，但函数在处连续，当时，，当时，，即区间呈现凸状，区间呈现凹状，（2,0）为拐点； 　（5）提示：参见第五节中例2。 3．，取时，令及曲线过点， 　 有，则，这时，，当从1的一侧 变化到另一侧时，变号，即当时，点为曲线的拐 点。 4．因，令得，因　在这些点的左右两侧均改变符号，所以点，，都是拐点。因为，，即这三个拐点位于同一条直线上。