《计算方法》第三章 线性方程组的解法.ppt

§3.0 引 言 重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和 科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电 路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商 业经济中的各种问题。 §3.0 引 言 分类： 线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。 直接法： 对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发。 计算代价高. 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题。简单实用, 诱人。 §3.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b) 逐次超松弛迭代法(Successive Over Relaxation Method，简写为SOR)可以看作带参数ω的高斯-塞德 尔迭代法，是 G-S 方法的一种修正或加速，是求解大 型稀疏矩阵方程组的有效方法之一。 设方程组AX=b, 其中，A=(aij) 为非奇异阵， x=(x1, x2, …, xn)T, b=(b1, b2, …, bn)T. 假设已算出 x(k) ， 关于SOR方法的说明： 显然，当 时，SOR方法就是Gauss- Seidel方法。 SOR 方法每一次迭代的主要运算量是计算一次矩阵与向量的乘法。 时称为超松弛方法， 时称为低松弛方法。 计算机实现时可用 控制迭代终止，或用 SOR方法可以看成是Gauss-Seidel方法的一种修正。 （迭代法收敛的充分条件） 设方程组 迭代法为 如果有 的某种算子范数满足 ，则 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性 定义：(对角占优阵) 设 (1) 如果 元素满足 称 为严格对角占优阵 (2) 如果 元素满足 且上式至少有一个不等式严格成立， 称 为弱对角占优阵。 5.3 高斯主元素消元法 考虑在整个矩阵范围选主元，这就是所谓的全主元 消去法，此时要注意的是，在做列的变换时，要同 时记录当前变量的次序，以免自变量的含义不清。 Seidel迭代格式为 从式中解出 故可得Seidel迭代矩阵为 从例中可以看出Jacobi迭代矩阵Bj的主对角线为零，而Seidel迭代矩阵Bs的第1列都是零，这对一般情况也是成立的。 举例检验Jacoai迭代的收敛性 首先将原方程组写为迭代形式的方程组，即： 求任一行之和的最大值1,即： ||M||?=max{5/8,5/11,9/12}=9/121 i 或求任一列之和的最大值1,即： ||M||1=max{114/132,60/96,30/88}=114/1321 结论：该方程组采用Jacobi迭代法计算是收敛的。 已知线性方程组为： §3.5 高斯消元法 首先将A化为上三角阵 ，再回代求解 。 = (一) 高斯消去法的求解过程,可分为两个阶段: 首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为 “消元”过程; 然后,用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,并称之为“回代”过程. 下面分别写出“消元”和“回代” 两个过程的计算步骤. 记 Step 1：设 ，计算因子 将增广矩阵第 i 行 ? mi1 ? 第1行，得到 其中 Step k：设 ，计算因子 共进行 ？ 步 n ? 1 且计算 回代 若A的所有顺序主子式 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到惟一解。 利用高斯消元法求解方程组: 解： §3.5 高斯消元法_例题分析 利用 得 利用 得 利用 得 显然，方程组(4)与(1)是等价的，其系数矩阵为上三角状的，易于求解.称以上过程为高斯消去法的消去过程.通过方程组(4)的回代求解，可以得到准确解为 这一过程为高斯消去法的回代过程。 §3.5 高斯消元法_选主元消去法 Gauss消元法第 k 次消元是用第 k 个方程 主元素及其选取问题 来消去第 k+1,…,n 个方程中的 xk , 条件是 . 是实现第 k 次消元的关键元素，称为第k次消去的主元. Gauss消元法存在的问题是： 例：单精度解方程组 /* 精确解为