D函数的连续性与间断点说课.pptVIP

第七节 一、 函数的连续性 对自变量的增量 例1. 证明函数 二、 间断点及其分类 间断点分类: 例如: 2. 运算性质 例如, 例4 . 3.初等函数的连续性 例7. 求 例9. 设 内容小结 备用题 确定函数 间断点的类型. * 二、 间断点及其分类 一、 函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章 三、连续函数的性质 可见 , 函数 在点 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限值＝函数值 有函数的增量 左连续 右连续 当 时, 有 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义7.2； 定理7.1 左连续 右连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义7.2； 定理7.1 思考：什么情况下要讨论函数的左连续和右连续？ 讨论分段函数在分界点处的连续性，或者是函数在区间 端点处的连续性时，一般要讨论左连续和右连续 。 continue 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 都有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 问a为何值时, f (x)在x = 0连续. 解: f (0)=3 = 3. 为使f (x)在x=0连续, 必须 即, a=3. 故当 a=3时, f (x)在x=0连续. = a. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 在点 不连续，则称点 为函数 f (x) 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点。此时，必出现下列某种情形： 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 这样的点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 的间断点, 并判别其类型. 解: x = –1 为第一类可去间断点. x = 1 为第二类无穷间断点. x = 0 为第一类跳跃间断点. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 的间断点, 并判别其类型. 解: ∵当x为整数时f (x)无定义， ∴x = 0 为第一类可去间断点。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ∴x=k(k为整数)为间断点. ∴x = －2 为第一类可去间断点。 例3. 求 的间断点, 并判别其类型. ∴x = k (k≠0，－2)为第二类无穷间断点。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、连续函数的性质 定理7.2 （局部有界性） 定理7.3 （局部保号性） 1. 局部性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在其定义域内连续 定理7.4. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理7.5. 连续单调递增 函数的反函数 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, 设 且 t 满足 时, 又 则有 定理7.6. 设