Matlab笔记——数值计算—线代篇016.docxVIP

16. 数值计算—线代篇 一、行列式 det(A)——矩阵A的行列式； inv(A)——矩阵A的逆； rank(A)——矩阵A的秩； B(: , i)=b——将向量b赋给矩阵B的第i行； [A, eye(5)]——在矩阵A右端，拼接5阶单位矩阵； [U,s]=rref(A)——对矩阵A作行变换，U返回A的最简行阶梯形矩阵，s为行向量存储U的各行首个非0元所在列号，length(s)即为A的秩； 例1 用初等行变换法求矩阵的逆。 代码： format short g % 省略小数位多余的0 A=[1 2 3; 2 2 1; 3 4 3]; B=rref([A,eye(3)]) % 对矩阵[A,I]进行初等行变换,得到最简行阶梯矩阵B if(rank(B(:,1:3))==3) % 判断B的前3列是否为单位阵，若是取出后3列，即A逆 A1=B(:,4:6) else disp(A不可逆); end 运行结果： B =1 0 0 1 3 -2 0 1 0 -1.5 -3 2.5 0 0 1 1 1 -1 A1 = 1 3 -2 -1.5 -3 2.5 1 1 -1 例2解方程 代码： syms x; A=[3 2 1 1;3 2 2-x^2 1;5 1 3 2;7-x^2 1 3 2]; D=det(A) f=factor(D) % ??行列式D进行因式分解 X=solve(D) % 求方程“D＝0”的解 运行结果：D =-3*(x^2 - 1)*(x^2 - 2) f =-3*(x - 1)*(x + 1)*(x^2 - 2) X = -1 1 2^(1/2) -2^(1/2) 二、向量组的线性相关性 例3 向量组 求它的秩和一个最大线性无关组，并用来表示其它向量。 代码： A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4; 4 -1 15 17;7 -6 -7 0 ]; % format rat; % 使用分数表示 rref(A) 运行结果： ans = 10021 010-35 0 014 -5 0 00 0 0 可见，向量组的秩是3，是一个最大线性无关组；并且 ， 注：也可以用[R,s]=rref(A); length(s)得到秩。 三、线性方程组的通解 null(A, ‘r’)——返回齐次线性方程组Ax=0的基础解系，选项’r’返回有理数解，否则按分数显示； x0=inv(A)*b——若A-1存在，直接可以得到Ax=b的一个特解x0,否则只能按求解理论求解； subs(A, k, n), 将矩阵或式A中的k用n代替。 例4求下列方程组的通解： 代码： syms x; A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19]; b=[-2;7;-23;43]; [R,s]=rref([A,b]) [m,n]=size(A); x0=zeros(n,1); % 将特解x0初始化为零向量 r=length(s); % 矩阵A的秩赋给变量r x0(s,:)=R(1:r,end) %矩阵R的最后一列按基准元素的位置得到特解x0 x=null(A,r) % 得到对应齐次方程组Ax＝0的基础解系 运行结果： R = 120293 001028 000000 0 00 0 0 0 s = 1 3 x0 = 3 0 8 0 0 x = -2 -2 -9 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 1 例5已知齐次线性方程组 问当k取何值时方程组有非零解？在有非零解的情况下，求出其基础解系。 代码： syms k; A=[1-2*k,3,3,3;3,2-k,3,3;3,3,2-k,3;3,3,3,11-k]; D=det(A) K=solve(D) % 解方程“D＝0”即要求的k值 for i=1:4 Ak=double(subs(A,k,K(i))); % 用K(i)替换矩阵A中的k,得到的是符号矩阵， % 再用double函数转化为数值矩阵 x=null(Ak,r) end 运行结果：D =2*k^4 - 31*k^3 + 30*k^2 + 161*k + 98 K = -1 -1 7/2