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多输入描述函数法 原理及应用 周雷 2011-04-21 上述关于描述函数的讨论，是在输入信号只包含基波的假定下进行的。描述函数法的有效性条件是系统的非线性环节具有良好的低通特性，在满足这一条件下，只考虑基波才是最合理的。不过，对于某些实际系统而言，高次谐波不一定能够忽略，为了提高分析的精确度，人们提出了多描述函数法的理论。不过由于其复杂性，通常仅采用双输入描述法。 当非线性环节的信号为频率不同的两个正弦波，得到的描述函数就叫做双输入描述函数； 当非线性环节的信号为频率不同的多个正弦波，得到的描述函数就叫做多输入描述函数。 双输入描述函数法 附加信号的引入要以不影响系统正常工作为前提, 考虑到大多数被控对象都具有低通滤波特性, 我们选零均值的高频正弦信号作为附加输入，这时非线性环节f对主输入信号x(t)的传递特性可用如下双输入描述函数表示 滞环非线性 双输入继电特性 描述函数法 设非线性环节的输入输出特性为： ，则在正弦信号 的作用下，其输出 一般都是非正弦信号 。把 展开为傅里叶级数： 式中 若非线性特性是中心对称的，则 具有奇次对称性，此时 输出 中的基波分量为： 描述函数定义为非线性环节稳态正弦响应中的基波分量与输入正弦信号的复数比（复值比，相角差） ——非线性环节输出信号中基波分量的振幅； ——输入正弦信号的振幅； ——非线性环节输出信号中基波分量与输入正弦信号的相位差； 双输人描述函数可以退化为普通描述函数。双输入描述函数的计算较困难, 应用不广。 如果选择附加输入的频率远高于主输入信号的频率, 则依式① 定义的双输人描述函数能大大简化, 它将不再与 及 有关，只决定于输入的振幅A和A‘。 定理1 对于式①定义的双输入描述函数，当 ，两个傅里叶系数C、D存在如下极限： 根据如上定理, 在 时双输入描述函数可写作N(A,A’ ), 其计算得到很大程度的化简。实际应用中, 又不可能无穷大, 用上述公式计算N(A,A’)会产生一定误差;根据做过的几个计算例子, 当 ?? 时, 这个误差一般小于5%, 当 时, 误差已在0.1%以内。 死区、滞环和继电特性是最典型的几种非线性, 以这三种非线性为例进行分析。 死区特性及其在正弦信号 作用下的输出波形 为线性部分的斜率； ，为死区宽度。 因为，死区特性是单值奇对称的，即 为奇函数 所以， 1.死区特性的描述函数 在汽轮机的液压调速系统中, 有这样的一个应用例子,用合适的死区去减小液压油源压力波动造成的汽阀位置的波动。 在这个例子中, 死区是由滑阀的负开口产生的油源的压力波动是不可避免的, 其频率一般较高, 经油缸滤波后有一定程度的衰减, 但常常仍使阀 位有3% 左右的波动, 不满足汽轮机运行的要求,为此, 一般选有:(0.15-0.3)mm负开口的滑阀来抑制油压波动,从另一方面来看, 油压波动作为死区的附加输人, 使死区的存在并不影响调速机构的阀位控制精度。 3.继电特性的描述函数 死区特性的描述函数为： 死区特性的描述函数是输入信号幅值 的实函数 具有滞环和死区的继电特性及其在正弦信号 作用的输出波形。输出 的数学表达式为： 令 ，可得理想继电器特性的描述函数为： 令 ， 可得三位置死区继电特性的描述函数为： 令 ，可到具有滞环的两位置继电特性的描述函数： 继电特性在附加输入作用下会产生一种线性化的效果。图7给出了y(x)在几种情况下的曲线. y(x) 的解析式如下: 由式(4) A’ 越大, 继电特性对小信号的等效增益越小, 这实质上提供