复变函数课件 习题选讲.pptVIP

习题选讲 (2) 的6个值分别是: ?习题一 ?1.2 求下列各式的值 (3) ?1.7 试证当z→0时f(z)的极限不存在. ?证 令z = x+iy, f(z) = u(x,y) + v(x,y), 则 当(x, y)沿y = kx 趋于零时，易知此极限 随k变化，故此极限不存在. 所以当z→0 时, f(z)的极限不存在. ?2.2 下列函数何处可导?何处解析? ?习题二 ?解 令u = 2x 3, v = 3y 3 故函数只在 上可导，在整个 复平面上不解析。 ?2.2 下列函数何处可导?何处解析? ?解（1） 仅当 时C-R条件成立， 故此函数在直线 上处处可导.而在复平面上处处不解析. (3) 此时仅当x=y=0时有这四个偏导数 在原点连续,故f(z)只在原点可导.而在 复平面上处处不解析. (4) u,v的偏导数处处连续，且C-R 条件成立，故f(z)处处解析. ?2.3指出下列函数 的解析性区域， 并求出其导数. ?解（2）由于 知f(z)在z平面上处处可导，处处解析. （3）由于 知f(z)在除去点 上处处可导.处处解析， 是f(z)的奇点. 外的z平面 ?2.5 如果f(z) = u+iv是z的解析函数, 证明 ?证 由f(z) = u + iv 得 命题得证. 为解析函数，试确定l、m、n的值. ?2.6 设 ?解 ?2.8 证明：如果函数 在区域D内解析，并满足下列条件之一， 那末f(z)是常数. 恒取实值； 在D内解析； 在D内是一个常数. (1) (2) (3) ?解 （1）若f(z)恒取实值，则v=0，又根据 f(z)在区域D内解析，知C-R条件成立，于是 故u在区域D内为一常数，记 则f(z)=u+iv=C为一常数. (2)若 在区域D内解析，则 又f(z)=u+iv在区域D内解析， 则 ， 有 故u,v在D内均为常数，分别记为 则 为一复常数 （3）若|f(z)︳在D内为一常数，记为C1， 则u2+v2=C12，两边分别对于x和y求偏导，得 由于f(z)在D内解析，满足C-R条件 代入上式又可写得 解得 同理，可解得 故u,v均为常数，分别记为 则 为一复常数. ?2.8 若函数f(z)在区域D内解析, 且满足下 列条件之一, 试证f(z)必为常数. (4) arg f(z)在D内为一常数; (5) au+bv=c, a,b和c为不全为零的实常数. ?解 (4) 设 arg f(z) = ? , 则 上式分别对x及y求偏导，再用C－R方程 由克莱姆法则和C－R方程有 于是u与v恒等于常数，则f(z)必为常数. (5) 由于a, b不同时为0, 设a≠0，得 由C－R方程 于是u与v恒等于常数，则f(z)必为常数.