3-5 函数的单调性与曲线的凸凹性.ppt

二、曲线的凹凸性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 二、曲线的凹凸性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 利用曲线的凹凸性证明不等式 例11 证明 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性 三、小结 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性 三、小结 函数的单调性 曲线的凹凸性 曲线的升降 曲线的弯曲方向 一阶导数的符号 二阶导数的符号 概念 判定 应用 证明不等式 x f (x) f (x) f(x) xi (xi-1 xi ) (xi xi+1) …… 单调性 单调性 凹凸性 凹凸性 不同 (xi f(xi)) 拐点 不同 极值点和极值 类比 综合 第五讲 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性 三、小结 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性 三、小结 一、函数的单调性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 一、函数的单调性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 x1 x2 x1 x2 x o y x o y 一、函数的单调性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 一、函数的单调性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 判定定理 设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f (x)≥0,且等号仅在有限多个点成立， 那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加; (2)如果在(a,b)内f (x)≤0,且等号仅在有限多个点成立， 那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少. 判定定理 设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f (x)≥0,且等号仅在有限多个点成立， 那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加; (2)如果在(a,b)内f (x)≤0,且等号仅在有限多个点成立， 那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少. 例1 判定函数 在 上的单调性 例2 讨论函数 的单调性 例3 讨论函数 的单调性 x o y 单调区间的求法 (1) 明确函数的定义域 (2) 求出导数等于零的点，明确不可导点 (3) 将上述点从小到大排列，把定义区间划分为若干子区间 (4) 在每个子区间上讨论导数的符号，判定函数的单调性 (5) 归纳 例4 确定函数 的单调区间 一般结论 如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外， 导数存在且连续， 那么用f (x)=0的根及f (x)不存在的点划分 函数的定义区间，就能保证f (x)在各部分区间保持固定符号. 一、函数的单调性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 一、函数的单调性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 利用函数的单调性证明不等式 例5 当 时 证明 证明思路 不等式 变形 （以证明xa 时某不等式成立为例） 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性 三、小结 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性 三、小结 二、曲线的凹凸性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 二、曲线的凹凸性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 x1 x2 x o y 定义 设函数f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2恒有 那么称f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧） 如果恒有 那么称f(x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧） 定义 x1 x2 x o y 设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点。 如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。 注： 拐点：曲线上的点 二、曲线的凹凸性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 二、曲线的凹凸性 （一）概念 （二）判定 （三）应用 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么 判定定理 (1)若在(a,b)内f(x)＞0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； (2)若在(a,b)内f(x)＜0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么 判定定理 (1)若在(a,b)内f(x)＞0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； (2)若在(a,b)内f(x)＜0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的； 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么 判定定理 (1)若在(a,b)内f(x)＞0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； 例6 判定曲线 的凹凸性 例7 判定曲线 的凹凸性 例8 判定曲线 的凹凸性 (2)若在(a,b)内f(x)＜0