函数的极值习题分析.pptVIP

【互动探究】本题问题改为“f(x)有两个极值点，求a的取值范围”，如何求？ 【解析】f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a) =ex[x2+(a+2)x+2a+1], 令f′(x)=0得x2+(a+2)x+2a+1=0. ∵f(x)有两个极值点， ∴Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)＞0. 得a0或a4, 即a0或a4时，f(x)有两个极值点. 【变式训练】已知函数f(x)＝x3+mx2+nx-2的图像过点 (-1,-6)，且函数g(x)=f′(x)+6x的图像关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间； (2)若a0，求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. 【解析】(1)由函数f(x)的图像过点(-1,-6)，得m-n=-3①. 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n. 而g(x)的图像关于y轴对称，所以 所以m=-3.代入①，得n=0.于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)0，得x2或x0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞); 由f′(x)0得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2). (2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0，得x=0,或x=2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如表: 由此可得，当0a1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)= -2，无极小值; 当a=1时，f(x)在(a-1,a+1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值; 当a≥3,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得，当0a1时，f(x)有极大值-2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值-6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值. 【即时训练】已知平面向量 (1)若存在实数k和t，使 试求函数关系式k=f(t)； (2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)-m=0的解的情况. 解：(1)∵ 即 整理后得 ∵ ∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即 (2)讨论方程 的解的情况，可以看作曲线 与直线y=m的交点个数. 于是 令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1. 当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如表： 当t=-1时，f(t)有极大值， 当t=1时，f(t)有极小值， 函数 的图像如图所示，可观察出： ①当 时,方程f(t)-m=0有且只有一解； ②当 时,方程f(t)-m=0有两解； ③当 时,方程f(t)-m=0有三解. 1.设f(x)在x0附近有定义，f(x0)是f(x)的极大值，则( ) (A)在x0附近的左侧，f(x)＜f(x0)；在x0附近的右侧，f(x)f(x0) (B)在x0附近的左侧，f(x)f(x0)；在x0附近的右侧，f(x)f(x0) (C)在x0附近的左侧，f(x)f(x0)；在x0附近的右侧，f(x)f(x0) (D)在x0附近的左侧，f(x)f(x0)；在x0附近的右侧，f(x)f(x0) 【解析】选C.由极大值定义得在x0附近f(x0)最大，故选C. * 求函数的极值 1.对函数极值、极值点的理解 (1)极值点不是点，而是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数. (2)极值点是函数定义域内的点，但定义域端点绝不是极值点. (3)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧很小的范围而言的. (4)函数在某区间内有极值，那么它在该区间内不是单调函数，即在区间上单调的函数无极值. 2.函数极值与其导数的关系 连续函数的某点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号，可导函数的某点是极值点的必要条件是在这点的导数为0. 在求函数极值时，往往认为只要f′(x0)= 0,x0就是函数的极值点，而导致问题出错. 【例1】求下列函数的极值. 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程f′(x)= 0求出函数f(x)在定义域内所有可能的极值点，然后按照 函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值. 解：(1)因为 所以f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2). 由f′(x)=0,得:x1=2,x2=-2. 因此x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： 因此，当x=-2时，f(x)有极大值， 并且极大值为 当x=2时，f(x)有极小值， 并且极小值为 (2)函数的定义域为R. 令f′(x)=0，得x=±1. 当x