函数的最值与导数 公开课.pptVIP

Page ? * Page ? * 高二数学 李珂珂 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 0 x y a b f(a) f(b) 复旧知新 问题一：函数极值相关概念 （1）若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都小，满足f (b)=0且在点x=b附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。 （2）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,满足f (a)=0且在点x=a附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。 复旧知新 问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？ 解方程f (x) =0。当f (x0) =0时： （1）如果在x0附近 的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x)0 ,那么f (x0)是极大值； （2）如果在x0附近 的左侧 f (x)0，右侧 f (x) 0 ,那么f (x0)是极小值； 观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值和极小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？ 讲授新课 x1 极大值：f (x2)，f (x4)，f (x6) 极小值：f (x1)，f (x3)，f (x5) 最大值：f (a) 最小值：f (x3) x2 x3 x4 x5 x6 b a 规律总结 （1）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体概念； （2）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一个最大值或最小值； （3）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。 最值特点： o x y a b y=f(x) y=f(x) o x y a b o x y a b y=f(x) o x y a b y=f(x) 性质探究 探究问题1：开区间上的最值问题 结论 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值。 若有最值，一定在极值点处取得。 如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？ 性质探究 探究问题2：闭区间上的最值问题 y=f(x) a b x1 x2 x4 x3 y x o a b y=f(x) 如图，观察[a，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。 结论 特别地，若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则最值则在端点处取得。 y x o 例1 .给出下列说法： （1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值。 （2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 （3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值。 （4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极值。 其中说法正确的有（　　） 牛刀小试 (4) 一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1) 求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值； (2) 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 提炼升华 典例精讲 例 2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3, 5]上的最值。 解：f(x)=48-3x2= -3(x2-16)= -3(x-4)(x+4) 令 f(x)=0，得 x=4或 x= -4（舍） 当-3 x 4时，f(x) 0，函数单调递增； 当4 x 5时，f(x)0，函数单调递减； 所以当x=4 时，函数取得极大值，且极大值 f (4)=128； 又 f (-3)= -117, f (5)=115 所以函数在区间[-3, 5] 上最大值为 128，最小值为 -117. 求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2, 1]上的最值 解： 又 f (-2)=1, f (1)=-8 所以函数在区间[-2, 1] 上最大值为 12,最小值为 -8 巩固练习 f(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)， 令 f(x)=0，得 x=-1或 x=2（舍） 当-2 x -1时，f(x)0，函数单调