应用随机过程 期末复习资料.doc

第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，Xn表示第n次登记的数字，得到一个序列X1 ， X2 ， ···，记为{Xn，n=1,2, ···}，则Xn 是随机变量，而{Xn，n=1,2, ···}是随机过程。 例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令Xn 表示第n次统计所得的值，则Xn 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{Xn，n=1,2, ···}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t时刻在路上的位置，则{X(t), t0}就是（直线上的）随机游动。 例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t时刻的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), tT}和{Y(t), tT}都是随机过程。 定义：设给定参数集合T，若对每个tT, X(t)是概率空间上的随机变量，则称{X(t), tT}为随机过程，其中T为指标集或参数集。 ，E称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1：E为{0,1} 例2：E为[0, 10] 例3：E为 例4：E都为 注：（1）根据状态空间E的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。 （2）参数集T通常代表时间，当T取R, R+, [a,b]时，称{X(t), tT}为连续参数的随机过程；当T取Z, Z+时，称{X(t), tT}为离散参数的随机过程。 （3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov定理 随机过程的一维分布： 随机过程的二维分布： 随机过程的n维分布： 1、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，…n维分布等的全体 称为{X(t), tT}的有限维分布族。 2、有限维分布族的性质： （1）对称性：对（1,2，…n）的任一排列，有 （2）相容性：对于mn，有 3、Kolmogorov定理 定理：设分布函数族满足上述的对称性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t), tT}，使恰好是{X(t), tT}的有限维分布族。 定义：设{X(t), tT}是一随机过程： 称X(t)的期望（如果存在）为过程的均值函数。 如果，存在，则称随机过程{X(t), tT}为二阶矩过程。此时，称函数，为过程的协方差函数；称为过程的方差函数；称为自相关函数。 例：，其中和V是相互独立的且均服从N(0,1)分布的随机变量，求和。 三、随机过程的基本类型 独立增量过程：如果对任意随机变量 是相互独立的，则称{X(t), tT}是独立增量过程。 平稳增量过程：如果对任意，有X(t1+h)-X(t1) X(t2+h)-X(t2)，则称{X(t), tT}是平稳增量过程。 平稳独立增量过程：兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，例如Poisson过程和Brownian motion Poisson 过程 2.1 Poisson 过程 1. 计数过程 定义：随机过程称为计数过程，如果表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点： （1）且取值为整数； （2）时，且表示时间内事件A发生的次数。 2. Poisson过程 定义2.1.1：计数过程称为参数为（）的Poisson过程，如果 （1） （2）过程具有独立增量性； （3）在任一长度为t的时间区间中事件发生的次数服从均值为的Poisson分布，即对一切，有 注：Poisson过程具有平稳增量性 因为的分布只依赖于t, 与区间起点s无关， 于是可认为是单位时间内发生的事件的平均次数，一般称是Poisson过程的强度。 例2.1.1：（Poisson过程在排队论中的应用）研究随机服务系统中的排队现象时，经常用到Poisson过程模型。例如：到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施（商场、车站、购票处等）的顾客数，都可以用Poisson过程来描述。以某火车站售票处为例，设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的平均速率到达，则9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少？10:00-11:00没有人来买票的概率是多少？ 解：我们用一个Poisson过程来描述，设8:00为时刻0，则9:00为时刻1，参数，于是, 例2.1.2：（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以表示某公路交叉口、矿山、工厂等场所在时间内发生不