积分中值定理毕业论文剖析.doc

编号 2010011202 毕 业 论 文（设 计） （ 2014 届本科） 论文题目： 积分中值定理 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 2010级本科（2）班 作者姓名： 曹 强 指导教师： 完巧玲 职称： 副教授 完成日期： 2014 年 5 月 5 日 目 录 诚信声明 1 摘要 2 1积分中值定理 2 1.1定积分中值定理及推广 2 1.1.1定积分中值定理 2 1.1.2定积分中值定理的推广 2 1.2定积分第一中值定理及推广 3 1.2.1定积分第一中值定理 3 1.2.2定积分第一中值定理的推广 3 1.3定积分第二中值定理及推广 4 1.3.1定积分第二中值定理 4 1.3.2积分第二中值定理的推广 6 1.4 重积分的中值定理 7 1.4.1二重积分的中值定理 7 1.4.2三重积分的中值定理 8 1.5曲线积分中值定理 8 1.5.1第一曲线积分中值定理 8 1.5.2第二曲线积分中值定理 8 1.6 曲面积分中值定理 10 1.6.1第一曲面积分中值定理 10 1.6.2第二曲面积分中值定理 10 2中值点的渐进性 10 2.1第一积分中值定理中值点的渐进性 10 2.2第二积分中值定理中值点的渐进性 13 3积分中值定理的应用 14 3.1估计积分值 14 3.2求含定积分的极限 15 3.3确定积分值符号 15 3.4比较积分大小 16 3.5证明函数的单调性 16 3.6证明定理 16 结论 18 参考文献 18 英文摘要 19 致 谢 20 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担. 作者签名： 二年月日 定理7[2]（二重积分的中值定理）：假设函数在有界闭区域上连续，其中是的面积，则在上至少存在一点使得 成立. 定理8（二重积分第一中值定理）：若在有界闭区域上连续，在上可积且不变号，则存在一点，使得 成立. 证明：不妨设≥0 （）.令上的最大、最小值，从而 若，则由上式，于是任意取，即可. 若，于是 ， 由介值性定理，存在，使得 ， 即 1.4.2三重积分的中值定理 定理9[2]（三重积分的中值定理）：设函数在有界空间闭区域上连续，其中是的体积，则在上至少存在一点使得 成立. 定理10（三重积分第一中值定理）：设函数在有界空间闭区域上连续，在上可积且不变号，则存在一点使得 成立. 1.5曲线积分中值定理 1.5.1第一曲线积分中值定理 定理11[6]（第一型曲线积分中值定理）： 如果函数在光滑有界闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使 成立，其中为曲线的弧长. 1.5.2第二曲线积分中值定理 定理12[6]（第二型曲线积分中值定理）：如果函数在光滑有向曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使得 成立.其中为光滑有向曲线在轴正向上的投影，其中符号“”是由曲线的方向确定的. 证明：因为函数在有界闭曲线上连续，所以存在，其中，对上式进行第二型曲线积分可得 （3-6） 其中为有向光滑曲线在轴上的投影，此时我们不妨记，并且分以下两种情况进行讨论： [1]假设，将（3-6）式除以可得 . 因为在上连续，故由介值定理，则在曲线上至少存在一点，使 成立，即有 成立. [2]同理当，式左右两边同时除以可得 ， 因为在上连续，故由介值定理，则在曲线上至少存在一点，使 成立，即有 成立，由上面证明过程可得 ， 命题得证. 1.6 曲面积分中值定理 1.6.1第一曲面积分中值定理 定理13[3]（第一型曲面积分中