有限差分法基本原理-较好.pptVIP

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 100 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 50 50 62.5 62.5 68.8 68.8 0 25 25 37.5 37.5 45.3 0 0 12.5 12.5 21.9 21.9 0 0 0 6.25 6.25 14.1 0 0 0 0 6.25 6.25 0 0 0 6.25 6.25 14.1 0 0 12.5 12.5 21.9 21.9 0 25 25 37.5 37.5 45.3 50 50 62.5 62.5 68.8 68.8 如仍取 而为缩短计算时间，时间步长 取 ，则最终的差分方程： 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 100 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 100 100 100 100 100 100 0 200 0 100 -100 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0 100 -100 100 0 200 差分法的基本理论 上例中，令 表示差分方程的精确解．利用Taylor级数将 上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得 上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可 以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差 分方程的修正方程式。 1.相容性 上式中的 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误 差。显然 与 、 成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应的偏微分方程是相容的。 一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在 、 趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意义! 2.收敛性 收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问 题。如果在求解区域中的任一离散点 上，当网格步长 、 趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有 限差分方程的解是收敛的。 一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。 3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。 * 有限差分法基本原理 流体的控制方程 流体的控制方程 数值离散概述 有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。 离散网格点 差分和逼近误差 差分概念： 设有 的解析函数 ，函数 对 的导数为： 、 分别是函数及自变量的微分， 是函数对自变量的导数，又称微商。上式中的 、 分别称为函数及其自变量的差分， 为函数对自变量的差商。 差分的三种形式（一阶）： 向前差分 向后差分 中心差分 与其对应的差商的三种形式（一阶）： 向前差商 向后差商 中心差商 差分和逼近误差 由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。 差分和逼近误差 差分和逼近误差 用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。