有限差分法计算金属槽内电位分布.docVIP

班级：物理08-2B 姓名：胡艳 学号：08070201010 有限差分法计算金属槽内电位分布 一、选题依据 求解电位分布问题是物理学中最常见的问题之一，采用有限差分法解决此类问题是十分有效的。差分方程确定之后，一般选用迭代法求解，这是由于方程组系数矩阵中有大量元素为零，并且系数矩阵形成比较简单，有规律和重复。在迭代过程中常常可以一边形成系数矩阵一边计算，以节省内存，因而迭代法比直接法更常用。迭代法中又以超松弛迭代法最常用，以下给出超松弛迭代方法的公式。 对于二维场泊松方程等距剖分差分格式公式为 （2.67） 式中α称为加速收敛因子或超松弛因子，它的数值决定超松弛程度，影响迭代解收敛的速度。α取值范围是 1 ≤ α 2 （2.68） 加速收敛因子α取值因问题而异，对于第一类边值问题，若一方形场域由正方形网格划分，每边的节点数为（n+1），则加速收敛因子α可按下式计算： （2.69） 若一矩形场域由边长为h的正方形网格划分为mh和nh，且m和n都很大（一般都要大于15），那么加速收敛因子为 （2.70） 一般情况下，的最佳值只能是凭经验选取。对于其他形状的场域，也可用等效矩形面积的处理方法，即得出等效矩形面积后，再用式（2.70）求出最佳的。 下面我们来看一个计算电位分布的实例。 二、处理过程 实例：有一长接地金属槽，横截面积如图2.15所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为100V，求槽内电位分布。 分析：对于此槽中间区段电位分布，可理想化为二维问题。选定直角坐标系，槽内电位函数满足拉普拉斯方程，构成一类边值问题。 按有限差分法计算步骤，解题过程如下。 ⑴ 选取计算区域，进行离散化处理。取槽内全部区域（或根据对称性取一半区域）进行计算。取正方形网格离散，步长h=0.1a，取x方向节点数为11，y方向节点数为7，每个节点坐标用双下标（i,j）⑵ 给出采用超松弛迭代法的差分方程形式，即 场域为矩形，网格数m=10，n=6，按式（2.69）计算得到α=1.14。 ⑶ 给出边界条件，本题为第一类边值条件，边界条件利用直接赋值方式，即 ⑷ 内部节点赋初值。由分析可知，场内各处电位值必然介于Φ2和Φ1之间。为加快迭代解收敛速度，采用等差递增方式，即 ⑸ 给出检查迭代解收敛的条件，即各节点相邻两次迭代值相对误差。 ⑹ 画出计算流程图如图2.16所示。 ⑺ 编写计算程序。采用FORTRAN语言编写的计算程序如下。 ①变量与数组说明 U（I，J）——网格节点的电位值； I，J——网格节点的坐标； N——迭代次数； G——不满足指定误差条件的离散点数； A——第n次迭代时网格节点电位值； B——第（n+1）次迭代时网格节点电位； C——引入加速收敛因子后的网格节点电位； W——相邻二次迭代值的相对误差值。 ②源程序 DIMENSION U (11,7) DATA U/77*0 DO 5 I =2,10 U (I,7)=100 5 CONTINUE DO 10 I=2,10 DO 15 J=2,6 U(I,J)=100/6*(J-1) CONTINUE CONTINUE WRITE(*,11) WRITE(*,22) （（U(II,KK),KK=1,11）,II=1,7） N=0 G=O N=N+1 DO 20 I=2,10 DO 25 J=2,6 A=U（I,J） B=0.25*(U(I+1，J)+U(I,J+1)+U(I-1，J)+U(I,J-1) C=A+10456*(B-A) W=ABS（（C-A）/C） IF(W.LT.1E-3) GOTO 100 G=G+1 U（I,J）=C CONTINUE CONTINUE IF(G.GT.0.)GOTO 50 WRITE(*,*),N=1，N WRITE(*,*),ALPH=1,1.456 WRITE(*,33) WRITE(*,22)((U(II,KK),KK=1,11),II=1,7) FORMAT (QHO,15X,28HINTIAL VALUE OF CALCULATION) FORMAT(1X,11F7.2) FORMAT(1HO,20X,21HRESULT OF CALCULATION) STOP END ③计算结果输出 INITIAL VALUE