河北省2011届高考数学复习指导：三角函数应注意的几种类型问题.docVIP

高中数学三角函数学习中应注意的几种类型问题 一、探索性问题 新课程要求我们加大对于数学探究与创新能力的培养，对数学问题能在实验、猜想、合情推理的基础上，进行探索和研究，并予以证实；在新的情景中，能正确地表述数量关系，并能在创造性地思考问题的基础上，对较简单的问题得出一些新颖的结果。 例1 已知角α、β、为锐角，且，试求 的值。 解：这类求关系式的值的问题一般的解题策略为，先特值确定所求关系式的一个值，然后猜想所求关系的值为该值，再证明。 首先分别令α、β、都为，＝1，于是猜想的值为1。对猜想的结论进行证明： 证明：左边＝ 二、开放性问题 例2. 设函数，若是偶函数，则t的一个可能值是__________。 解法1：由已知得 又因是偶函数 所以 所以恒成立 所以 解法2：是由f(x)平移得到的，是偶函数，所以可以设 而，所以t可以为 例3 已知函数，试写出它的一个性质__________。 分析：中学数学讨论的函数性质有函数的定义域，值域（包括最大值和最小值），单调性，奇偶性，周期性等，函数是由两个十分常用的函数y＝sinx和y＝cosx组成，在同一坐标系中画出这两个函数的图像即可得到函数f(x)的图像，根据图像便可以讨论该函数的性质。 解：据该函数的图像（图像略）可以得到如下结论： （1）此函数的定义域是R； （2）该函数的值域是； （3）该函数是以2π为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当x＝2kπ和x＝时，该函数取得最大值1； （5）当且仅当时，该函数取得最小值； （6）在上是增函数，在是减函数，在上是增函数，在是减函数。 以上各性质只需回答其一。 三、判断真假性问题 例4 采用如下方法判断函数的奇偶性是否正确。 因为是奇函数，所以f(x)是奇函数。 解：此解答是错误的。由于简化过程中约去了分子、分母的公因式，使得因定义域不同而不是同一个函数，故不能应用约分后的函数直接求约分前函数的奇偶性，本例的正确解答是： 令，得一特解的函数值。 因为，而无意义。 所以函数f(x)的定义域关于原点不对称。 故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数 四、模仿解答问题 例5 阅读下面例题解法：实数x、y满足，＋的值。 解：设，化简后得： 解得 因为 所以 因为 所以 试用上述解法解下列问题：已知求的最大值。 解：因为 设 所以 因此当时，M有最大值 五、运用方程思想解题的问题 例6 已知。 分析：，和同角三角比的关系式联立形成一元二次方程求出，这样为一个一元二次方程的两个解，再求。 解：因为 所以 因为 所以是一元二次方程的两个解。，，所以。 例7 已知且α为第三象限角，求sinα与cosα。 解：，因为α为第三象限角 所以 由此可得， 所以的两个解 所以 六、追溯条件性问题 例8 请你写出一个关于α的等式并加以证明，要使得等式 是你给出的等式中当α＝20°和α＝15°时的情形。 分析：注意到这两个等式中三角比之间的运算方式相同，每个等式中的两个角之间都是相差30°，根据这些特征便可构建一个关于α和α＋30°角所满足的等式。 解：命题： 证明：左边＝ 说明：归纳概括一系列数学等式所具有的共同性质，从而猜想并证明具有一般意义的数学结论，使得原有的结论成为特例，这种由特殊到一般的推广，是数学研究中常用的方法之一。 七、有关数学建模问题 例9 如图1，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花。若BC＝α，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2。 （1）用a，θ表示S1和S2； （2）当a固定，θ变化时，求取最小值时θ的值。 图1 解：（1）因为BC＝a，∠ABC＝θ 所以AB＝acosθ，AC＝asinθ， 所以 又因为 所以 所以 （2） 所以有最小值，最小值为 八、在物理中的应用问题 例10 已知电流I与时间t的关系式为： （1）图2是在一个周期内的图像，P（，0），Q（，0），试根据图中数据求的解析式； （2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少。 图2 解：（1） （2）因为。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m