高中数学：2.15《圆与圆的位置关系》教案（苏教版必修2）.docVIP

第二章 平面解析几何初步 第二节 圆与方程 第15课时 圆与圆的位置关系 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法； 2．了解用代数法研究圆的关系的优点； 2.设两圆的半径分别为，圆心距为， 当时，两圆外离， 当时，两圆外切， 当时，两圆相交， 当时，两圆内切， 当时，两圆内含． 3.思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？ 【精典范例】 例1：判断下列两圆的位置关系： 【解】（1）根据题意得，两圆的半径分别为，两圆的圆心距 因为 ，所以两圆外切． （2）将两圆的方程化为标准方程，得． 故两圆的半径分别为， 两圆的圆心距 ． 因为，所以两圆相交． 点评：判断两圆的位置关系，不仅仅要判断 与的大小，有时还需要判断与的关系． 例2：求过点且与圆 切于原点的圆的方程． 分析：如图，所求圆经过原点和，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程． 【解】将圆化为标准方程，得 ， 则圆心为，半径为．所以经过此圆心和原点的直线方程为． 设所求圆的方程为． 由题意知，在此圆上，且圆心在直线上，则有 于是所求圆的方程是． 点评：此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题，由题意，圆心必在直线上，又圆心在直线，从而圆心坐标为，，所以所求圆的方程为． 追踪训练一 1.判断下列两个圆的位置关系： ； ． 答案：（1）内切，（2）相交． 2. 若圆与圆 相交，求实数的取值范围． 答案：． 【选修延伸】 一、两圆公共弦长及公共弦所在直线方程 例3: 已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去项、项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长． 【解】设两圆交点为、，则两点坐标满足方程组 ，得． 因为，两点坐标都满足此方程， 所以，即为两圆公共弦所在的直线方程． 易知圆的圆心，半径． 又到直线的距离为 ．所以， ．即两圆的公共弦长为． 点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要 注重分析． 例5：求过两圆 的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 分析：所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之间的关系求圆半径 【解】（法一）可求得两圆连心线所在直线的方程为． 由得圆心． 利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长， 所以，圆半径 ． 所以，所求圆方程为， 即 （法二）设所求圆的方程为即． 故此圆的圆心为，它在直线上， 所以，所以． 所以所求圆方程为 点评:“解法二”中设出的经过两已知圆交点的圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程． 思维点拔： 解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质． 追踪训练二 1．一个圆经过圆和圆的两个交点，且圆心在直线上，求该圆的方程． 答案：． 2．已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程． 答案：． 第15课 圆与圆的位置关系 分层训练 圆与圆 的位置关系是 （ ） 相离 相交 外切 内切 两圆：，： 的公切线有（ ） 2条 3条 4条 0条 3．相切，则动圆圆心的轨迹方程(动圆圆心坐标所满足的关系式)为（ ） 或 或 4．若圆始终平分圆的圆周，则应满足的关系式为 （ ） 5．和圆关于直线对称，则的方程为 ． 6．圆与圆相交于两点，则直线的方程为 ，公共弦的长为 ． 7．恒过一个定点,这个定点的坐标是______ ． 8．求经过点，且与圆相切于点的圆的方程． 9．求与两条平行直线和 相切，且圆心在直线上的圆的方程． 拓展研究 10．已知圆与圆相交于两点． （1）求直线的方程； （2）求经过两点且面积最小的圆的方程； （3）求圆心在直线上，且经过两点的圆的方程． 11．若两圆及在交点处的切线互相垂直，求实数的值． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 圆与圆的位置关系 外切 相交 内切 外离 内含