17.数列中存在性问题的研究.docVIP

专题：数列中存在性问题的研究（1） 一、问题提出 问题：1，，3不可能是一个等差数列中的三项． 二、思考探究 探究一： 探究1.1 设等差数列的前项和为且． （1）求数列的通项公式及前项和公式； （2）设数列的通项公式为，问是否存在正整数t，使得 成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由． （2），要使得成等差数列，则 即： 即： ∵，∴只能取2，3，5 当时，；当时，；当时，． 【注】“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决． 探究1.2 设公差不为零的等差数列的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）试求所有的正整数m，使得为数列中的项． 【解】（1）因为是等差数列，且，而，于是．………2分 设的公差为d，则由得， 化简得，即，解得或， 但若，由知不满足“数列的各项均为整数”，故．………5分 于是．……………………………………………………7分 （2）因为，， ……10分 所以要使为数列中的项，必须是3的倍数， 于是在中取值， 但由于是3的倍数，所以或． 由得；由得． …………………………………………13分 当时，；当时，． 所以所求m的值为3和4．…………………………………………………………16分 另解：因为 ? ， 所以要使为数列中的项，必须是3的倍数， 于是只能取1或．（后略） 探究1.3 已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且． （1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； （3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由． （1）令n=1，则a1=S1==0． （2）由，即， ① 得． ② ②－①，得． ③ 于是，． ④ ③+④，得，即．又a1=0，a2=1，a2－a1=1， 所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，an=n－1． （3）假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，． 时，0故数列{}( )为递减数列，时，0故数列{}()为递减数列，，，即时， 又当时，成立． 解法2：同上有，，且数列{}( )为递减数列，时，成立；当时，， 因此，由得，，此时 【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常用求值域的方法：单调性．本例蕴含分类讨论思想． 探究二： 探究2.1 等差数列的前项和为． （1）求数列的通项与前项和； （2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 【解】（1）由已知得，， 故． （2）由（1）得． 假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则． 即． ， ． 与矛盾． 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列． 【注】在反证法中利用有理数性质产生矛盾． 探究2.2 已知数列满足：，，数列满足：． （1）求数列，的通项公式； （2）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列． 【解】（1）由题意可知， 令　，则　 又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即 ，故，又， 故，． （2）假设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只有可能有 成立 ，即 即： 由于，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾． 因此数列中任意三项不可能成等差数列． 【注】此题为上例的补充，方法上有区别，在不便利用范围寻找矛盾时，如何考虑式子的变形呢？首先考虑将分数整数化，然后利用奇偶性寻找矛盾． 探究2.3 已知各项均为正数的等比数列的公比为，且（1）在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由； 知，数列是递减数列， 假设存在成等差数列，不妨设，则，即 即，而，，故矛盾． 因此在数列中不存在三项成等差数列． 【注】常用反证法说明不定方程正整数解不存在． 三、真题链接 （2009年江苏高考题）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，且 ． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项． 【解】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式为，前n项和． (2) =，若其是中的项，则， 令，则=, 即： 所以为8的约数． 因为是奇数，所以可取的值为， 当，即时，；当，即时，（舍去）． 所以满足条件的