第7章_矩量法摘要.pptVIP

由此可得 而同样由式（7-23），右端列向量元素gj即是式（7-52）。类同于式（7-53），本问题的系数矩阵［P］亦是对称的满矩阵，宜用列主元或全主元消去法解之。往后求场中任意点的电位或场强的方法和过程同于前例。 7.4 伽辽金有限元法 现按伽辽金准则来建立电磁场有限元方程，以论证基于加权余量法的伽辽金有限元法与基于变分原理的有限元法之间的等价性。 设给定二维非线性泊松场问题，其数学模型表述为 当场域D剖分为e0个单元后，将待求函数的插值函数 代入泛定方程（7-64a），则由7.2节讨论可知，在剖分单元e上对应于伽辽金准则的加权余量式（7-4），应表示为 在单元e的定义域De内，βe可看作常量，因此由于 故式（7-65）可以改写成 根据格林公式 令式（7-66）左边第一项积分中 ，即得 将上式回代至式（7-66），便有 又因 ，故代入上式得 若以5.5.1节所论平行平面电场或磁场为比照，则基于5.3节相关关系式的运用，上式第一项应为 式（7-67）中第二项按重心处取值求积，则得 式（7-67）中第三项不必对每个剖分单元求积，因为在有限元单元分析基础上的总体合成时，相邻内部单元的该项线积分贡献将互相抵消，而最终只需在整个D域的周界上（L1+L2）进行积分。今在边界L1上如式（7-64b）所示，给定为第一类强制边界条件，故该项线积分事实上仅意味着在边界L2上的贡献。此时，进一步考虑到在边界L2上给定的第二类边界条件（7-64c），则对应于边界三角元的该项贡献应改写为 比照5.5.4节的分析，不难看出，以图5-17所示的边界三角元为例，沿边界Le的形状函数分别为 由此线积分便可变换为定积分关系，即 从而，由式（7-70）表述的相关边界三角元的贡献为 同于式（5-94）。 综合以上讨论，在所有剖分单元应用式（7-67）所示关系式的处理基础上，将各单元对应的［K］e、｛P｝e和｛P′｝e予以扩展和累加，则由加权余量式（7-4），应满足 可最终导出有限元方程为 显然，基于导出过程中全同于第五章中相应关系式的式（7-68）、（7-69）、（7-71）所示的结果，可以确证，伽辽金有限元方程和基于变分原理的有限元方程二者完全等价。这样，在不存在或找不到相应泛函极值问题的情况下，完全可以从微分方程和边界条件出发，应用伽辽金方法直接进行有限元数值分析。因此，从此意义上讲，伽辽金有限元法是比基于变分原理的有限元法更为通用、离散化处理更为简单的一种有效方法，在近年来日益获得广泛的应用。 第 7 章 矩 量 法 第 7 章 矩 量 法 本章基于加权余量法的数学基础，阐明了矩量法的由来，并逐一讨论了常用的点匹配、伽辽金和最小二乘法等各种计算模式。限于矩量法基本概念与应用的考虑，本方法以静态电场为分析研究对象，采用点匹配法计算模式，结合典型示例给出了方法实际应用全过程的阐述。此外，专题讨论了伽辽金有限元法与基于变分原理的有限元法之间的等价性。 7.1 概述 矩量法（The Method of Moments，简称MOM），是近年来在天线、微波技术和电磁波散射等方面广泛应用的一种方法。从这些实际工程问题涉及开域、激励场源分布形态较为复杂等特征出发，矩量法是将待求的积分方程问题转化为一个矩阵方程问题，借助于计算机，求得其数值解，从而在所得激励源分布的数值解基础上，即可算出辐射场的分布及其波阻抗等特性参数。 矩量法的数学处理过程可以采用加权余量法或定义泛函内积等方法展开R。F. Harrington对用矩量法求解电磁场问题作了全面和深入的分析，其经典著作已于1968年出版［1］ 。为从数学意义上，既能理解通常矩量法构造的数学基础，又能把握其他数值计算方法与之相关的内在联系，本书采用加权余量法的概念来说明矩量法。加权余量法（The Method of Weighted Residuals）的概念首先由S.H.Crandall［2］在1956年提出。他将由积分、微分方程离散化为矩阵方程（代数方程组）的方法，统一归结为加权余量法，由此构成各种近似计算方法统一的数学基础，并已在力学问题中得到广泛应用。 本章着意于矩量法基本概念与应用的阐述，因此将仅限于讨论方法在静态电场中由点匹配法构造的计算模式，关于在