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确定高精度参数问题 摘要 本文依据题目要求，在万有引力和牛顿第二定律的基础上，首先建立了航天器运动模型；再次利用食饵—捕食者系统模型，在非线性最小二乘法的基础上对未知高精度参数进行估计；最后，本文针对题目所给出的现有模型进行合理化的改进，以满足题目要求。 对于问题一，本文利用物理上常用的知识，建立平面上的常微分方程组模型，以对航天器的运动进行模拟。 对于问题二，本文以最小二乘拟合为主，通过建立不同的模型对题目的要求分别求解。 在第一问中，本文先将食饵—捕食者系统模型转化为隐式方程的结构，再基于此方程，利用已知无误差数据和已知参数值，通过最小二乘拟合求出各未知参数，结果详见正文。 在第二问中，本文从理论上分析出，只要求得方程组的解析解，则再有4组无误的观测值就可以拟合出4个未知参数，同时考虑方程初值的确定问题，因此至少需要5组观测数据，就可以确定6个未知参数。 在第三问中，由于观测值存在误差，因此方程的初值也需要拟合，本文基于上问中的最小二乘法进行求解，发现结果误差较大，为减小误差，本文对模型进行修改，本文运用4级4阶龙格库塔法对模型加以修改。 在第四问中，观测的时间也发生了偏差，为了消除时间上的偏差，本文使用了分段线性插值消除时间误差，再利用第三问的方法对参数进行预测。 问题重述 一：考虑航天器在仅受到地球万有引力、航天器自身发动机作用力的作用下作平面运动，将地球和航天器视为质点，试建立航天器运动的数学模型（只要列出模型，不要求解）。 假设有一个生态系统，其中含有两种生物，即： A生物和B生物，其中A生物是捕食者，B生物是被捕食者。假设时刻捕食者A的数目为，被捕食者B数目为，它们之间满足以下变化规律： 初始条件为： 其中为模型的待定参数。 通过对此生态系统的观测，可以得到相关的观测数据。观测数据的格式依次为： 观测时刻、A生物数目、B生物数目 二：请利用有关数据，解决以下问题： 1) 在观测数据无误差的情况下，若已知，求其它5个参数？有关数据见数据文件：DATA1.TXT 2) 在观测数据无误差的情况下，若也未知，问至少需要多少组观测数据，才能确定参数？有关数据见数据文件：DATA1.TXT 3) 在观测资料有误差（时间变量不含有误差）的情况下，请分别利用观测数据DATA2.TXT和DATA3.TXT，确定参数在某种意义下的最优解，并与仿真结果比较，进而改进你们的数学模型。 4) 假设连观测资料的时间变量也含有误差，试利用数据DATA4.TXT，建立数学模型，确定参数在某种意义下的最优解。 符号说明 模型假设 （1）假设地球和航天器为质点，且运动过程中只受地球万有引力、航天器自身发动机作用力的作用。 （2）假设是一个包括捕食与被捕食两个种群的生态系统,捕食者靠被捕食者而生存,系统与外界没有种群交换关系。 （3）假设种群自身的增殖变化速率与 t 时刻种群的数量成比率。 问题分析 4.1 航天器运动分析 由于航天飞机只在平面内飞行，本文认为飞机在飞行中，飞行速度和加速度为时间的函数。在某一确定的点，在考虑惯性力因素下，飞机受力平衡，因此可以建立在飞船飞行方向上和指向地球方向上的平衡方程，该平衡方程即为建立航天器运动的数学模型。 4.2 生物种群模型分析 数据无误时模型分析 本文根据题目所给出的捕食者的数捕食者A的数目为，被捕食者B数目为，它们之间满足以下变化规律： 进行数学变形,把模型转化为隐式方程的结构，根据初始条件与附件可以很容易的得到与的值。利用已知无误差数据和已知参数值，通过最小二乘拟合求出参数.的值。 未知时模型分析 本题与问题一唯一的区别就是的值未知，同样的可以根据初始值知道与的值，由于的值是未知的，为此，我们可以先通过一组数据，得到参数的解析解，然后再用组数据就可以其他未知参数的值。 在确定参数的实际值时，本文利用参数之比为周期之比，用观测法得出所求参数的周期，同时利用公式，求出拟合后的周期，利用周期比为各参数之比，得到未知参数。 数据有误时间无误时模型分析 首先，由于初始值也存在误差，本文将作为未知参数带入所求出的隐式方程，从而用非线性最小二乘拟合对相对参数进行拟合。 再次，通过周期之比得到最终的未知参数。 最后，本文建立了4级4阶龙格库塔公式对模型进行改进，以应对由于数据误差较大时产生的数据偏差。 数据有误时间也有误时模型分析 对于时间上的偏差，本文先利用分段样条插值消除由于时间上的偏差所造成的影响，再次利用第三问的方法对未知参数进行求解。 模型建立与求解 5.1 航天器运动的数学模型 在考虑飞机模型时，为方便模型的建立，本文首先以地球为中心建立平面直角坐标系（如下图），将运动物理问题抽象为平面运动问题，同时假设飞船围绕地球做圆周运动，再由牛顿第二定律与万有引力定律可以